実空間格子と逆空間格子の関係

ある結晶のa軸、b軸、c軸の方向(ベクトル)を
(Ax,Ay,Az)、(Bx,By,Bz)、(Cx,Cy,Cz)
とします。この成分を使って以下のような3×3行列Rをつくると…
$R = \left( \begin{array}{ccc} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{array} \right)$

このときRの逆行列 $R^{-1}$ の列成分は
$R^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} A^*_x & B^*_x & C^*_x \\ A^*_y & B^*_y & C^*_y \\ A^*_z & B^*_z & C^*_z \end{array} \right)$

それぞれa,b,cの逆格子ベクトルa*=(A*x,A*y,A*z), b*=(B*x,B*y,B*z), c*=(C*x,C*y,C*z)になることがわかります(*は掛け算ではなく添え字です)。

この関係を使うと複雑な三角関数を使わなくても面間隔や面間の角度が直感的に計算できます。

たとえば(hkl)面を表す次のベクトル
v = h a* + k b* + l c*
はそのベクトルの長さが面間隔の逆数を意味しており方向は法線の方向を意味しています。

ちなみに3×3行列の逆行列は一応公式があって
$R^{-1} = \cfrac{1}{-A_z B_y C_x + A_y B_z C_x + A_z B_x C_y - A_x B_z C_y - A_y B_x C_z + A_x B_y C_z} \left( \begin{array}{ccc} -B_z C_y + B_y C_z & +A_z C_y - A_y C_z & -A_z B_y + A_y B_z \\ +B_z C_x - B_x C_z & -A_z C_x + A_x C_z & +A_z B_x - A_x Bz \\ -B_y C_x + B_x C_y & +A_y C_x - A_x C_y & -A_y B_x + A_x B_y \end{array} \right)$

という式を使って解くことが出来ます。

実空間の格子定数を(ベクトルではなく) $\large{a, b, c, \alpha, \beta, \gamma}$ とあらわした時、逆空間の格子定数 $\large{a^*, b^*, c^*, \alpha^*, \beta^*, \gamma^*}$ は次のように定義されます。

$a^*=\cfrac{b c \sin\alpha}{v}, \ b^*=\cfrac{c a \sin\beta}{v}, \ c^*=\cfrac{a b \sin\gamma}{v} \\ \cos\alpha^*=\cfrac{\cos\beta \cos\gamma - \cos\alpha}{\sin\beta \sin\gamma},\ \cos\beta^*=\cfrac{\cos\gamma \cos\alpha - \cos\beta}{\sin\gamma \sin\alpha},\ \cos\gamma^*=\cfrac{\cos\alpha \cos\beta - \cos\gamma}{\sin\alpha \sin\beta}$
逆空間格子の体積 $v^*$ は、
${v^*}^2={a^*}^2 {b^*}^2 {c^*}^2 (1-\cos^2\alpha^*-\cos^2\beta^*-\cos^2\gamma^* +2 \cos\alpha^* \cos\beta^* \cos\gamma^*)$
$v^*$ と実空間格子の体積 $v$ には $v^*=1/v$ の関係があります。

そして、ある結晶面 $(h k l)$ の面間隔を $d$ とした時、実・逆格子定数との関係は以下のようになります。
$\cfrac{1}{d^2} = \left(\begin{array}{cccccc} h^2 & k^2 & l^2 & kl & lh & hk \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccccc} {a^*}^2 \\ {b^*}^2 \\ {c^*}^2 \\ 2b^*c^*\cos\alpha^* \\ 2c^*a^*\cos\beta^* \\ 2a^*b^*\cos\gamma^* \end{array}\right) = \cfrac{1}{v^2} \left(\begin{array}{cccccc} h^2 & k^2 & l^2 & kl & lh & hk \end{array}\right) \left(\begin{array}{cccccc} {b c \sin\alpha}^2 \\ {c a \sin\beta}^2 \\ {a b \sin\gamma}^2 \\ 2a^2bc(\cos\beta \cos\gamma - \cos\alpha) \\ 2ab^2c(\cos\gamma \cos\alpha - \cos\beta) \\ 2abc^2(\cos\alpha \cos\beta - \cos\gamma) \end{array}\right)$

さらに、
$\left(\begin{array}{cccccc} {a^*}^2 \\ {b^*}^2 \\ {c^*}^2 \\ 2b^*c^*\cos\alpha^* \\ 2c^*a^*\cos\beta^* \\ 2a^*b^*\cos\gamma^* \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cccccc} A \\ B \\ C \\ U \\ V \\ W \end{array}\right)$
とすると、
${v^*}^2= (4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW)/4$
という関係があります。
ついでに、以下のような関係もあります。
$a^* = \sqrt{A}, \ b^* = \sqrt{B}, \ c^* = \sqrt{C} \\ \alpha^* =\arccos \cfrac{U}{2 \sqrt{BC}}, \ \beta^* = \arccos \cfrac{V}{2 \sqrt{CA}}, \ \gamma^* =\arccos \cfrac{W}{2 \sqrt{AB}} \\ a = \cfrac{b^* c^* \sin{\alpha^*}}{v^*} = \left(\cfrac{4BC-U^2 }{4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW}\right)^{1/2} = \left(A-\cfrac{BV^2+CW^2-UVW}{4BC- U^2}\right)^{-1/2} \\ b = \cfrac{c^* a^* \sin{\beta^*}}{v^*} = \left(\cfrac{4CA-V^2 }{4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW}\right)^{1/2} = \left(B-\cfrac{CW^2+AU^2-UVW}{4CA- V^2}\right)^{-1/2} \\ c = \cfrac{a^* b^* \sin{\gamma^*}}{v^*} = \left(\cfrac{4AB-W^2 }{4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW}\right)^{1/2} = \left(C-\cfrac{AU^2+BV^2-UVW}{4AB- W^2}\right)^{-1/2} \\ \sin\alpha = {\cfrac{a^*}{bc v^*}} = \left( \cfrac{4A(4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW)}{(4CA-V^2)(4AB-W^2)}\right)^{1/2} =\left( 1- \cfrac{(VW-2AU)^2}{(4CA-V^2)(4AB-W^2)} \right)^{1/2} \\ \sin\beta = {\cfrac{b^*}{ca v^*}} = \left( \cfrac{4B(4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW)}{(4AB-W^2)(4BC-U^2)}\right)^{1/2} =\left( 1- \cfrac{(WU-2BV)^2}{(4AB-W^2)(4BC-U^2)} \right)^{1/2} \\ \sin\gamma = {\cfrac{c^*}{ab v^*}} = \left( \cfrac{4C(4ABC-AU^2-BV^2-CW^2+UVW)}{(4BC-U^2)(4CA-V^2)}\right)^{1/2} =\left( 1- \cfrac{(UV-2CW)^2}{(4BC-U^2)(4CA-V^2)} \right)^{1/2} \\ \cos\alpha = \cfrac{\cos\beta^* \cos\gamma^* -\cos\alpha^* }{\sin\beta^* \sin\gamma^* } = \cfrac{VW-2AU}{\sqrt{(4CA-V^2)(4AB-W^2)} } \\ \cos\beta = \cfrac{\cos\gamma^* \cos\alpha^* -\cos\beta^* }{\sin\gamma^* \sin\alpha^* } = \cfrac{WU-2BV}{\sqrt{(4AB-W^2)(4BC-U^2)} } \\ \cos\gamma = \cfrac{\cos\alpha^* \cos\beta^* -\cos\gamma^* }{\sin\alpha^* \sin\beta^* } = \cfrac{UV-2CW}{\sqrt{(4BC-U^2)(4CA-V^2)} } \\$