対称操作と出現則/消滅則

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 回折とは、結晶に対して特定の条件(ブラッグ条件)で波を入射したとき散乱波が強め合う現象のことです。ただし、ブラッグ条件を満たしたからと言って、必ず回折が起きるわけではありません。結晶が複合格子並進、らせん、映進などの対称操作を有している場合は、たとえブラッグ条件を満たしても、特定の面指数の回折波の強度は消滅1します。このページでは、複合格子並進 (格子タイプ)、映進面、らせんの対称操作を有する場合、どのようなタイプの結晶面にどのような出現条件が課されるかをまとめました。

 反射のタイプ (Type of reflections)は面指数のタイプによって分類されており、たとえば \(h0l\) とある場合は「 \(h\) と \(l\) は任意だが \(k\) が \(0\) である結晶面」が条件の対象となります。 \(hkl\) と書かれていたらすべての結晶面が対象となりますし、\(hhl\) と書かれていたら\(h=k\) であるような結晶面が対象です。出現条件 (Reflection condition) 中の \(l =2n\) などの表記は、その値が偶数のときに出現することを意味しています。消滅する条件ではないのでご注意ください。


格子タイプによる出現則

Type of reflections
反射の
タイプ
Reflection condition
出現条件
Centering
of cell
格子の
センタリング
Translation
vector
並進ベクトル
Centering
symbol
センタリング
記号
\(hkl\) None なしPrimitive
単純格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\) \(P\),
\(R\) (rhombohedral axes)
\(h + k = 2n\) \(C\)-face centered
\(C\) 底心格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\), \(({\bf a}+{\bf b})/2\) \(C\)
\(h + k = 2n\) \(A\)-face centered
\(A\) 底心格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\), \(({\bf b}+{\bf c})/2\) \(A\)
\(h + k = 2n\) \(B\)-face centered
\(B\) 底心格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\), \(({\bf c}+{\bf a})/2\) \(B\)
\(h + k +l = 2n\) Body centered
体心格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\),
\(({\bf a}+{\bf b}+{\bf c})/2\)
\(I\)
\(h + k = 2n,\)
\(k + l= 2n,\)
\(h + l = 2n\)
All-face centered
面心格子
\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\),
\(({\bf a}+{\bf b})/2\), \(({\bf b}+{\bf c})/2\), \(({\bf c}+{\bf a})/2\)
\(F\)
\(-h + k + l = 3n\) Rhombohedrally centred
菱面格子
obverse setting (standard)\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\),
\((2{\bf a}+{\bf b}+{\bf c})/3\),
\(({\bf a}+2{\bf b}+2{\bf c})/3\)
\(R\) (hexagonal axes)
reverse setting\(\bf a\), \(\bf b\), \(\bf c\),
\(({\bf a}+2{\bf b}+{\bf c})/3\),
\((2{\bf a}+{\bf b}+2{\bf c})/3\)

映進面による出現則

Type of
reflections
反射のタイプ
Reflection condition
出現条件
Glide plane
映進面
Crystallographic coordinate
system to which
condition applies
関連する結晶系
Orientation
of plane
面の方向
Glide vector
並進ベクトル
Symbol
記号
\(0kl\) \(k = 2n\) \((100)\) \({\bf b}/2\) \(b\) \(e\) Monoclinic (a unique),
Tetragonal
Orthorhombic,
Cubic
\(l = 2n\) \({\bf c}/2\) \(c\)
\(k + l = 2n\) \(({\bf b}+{\bf c})/2\) \(n\)
\(k + l = 4n\)
  \((k, l = 2n)\)
\(({\bf b}\pm{\bf c})/4\) \(d\)
\(h0l\) \(l = 2n\) \((010)\) \({\bf c}/2\) \(c\) \(e\) Monoclinic (b unique),
Tetragonal
Orthorhombic,
Cubic
\(h = 2n\) \({\bf a}/2\) \(a\)
\(l + h = 2n\) \(({\bf c}+{\bf a})/2\) \(n\)
\(l + h = 4n\)
\((l, h = 2n)\)
\(({\bf c}\pm{\bf a})/4\) \(d\)
\(hk0\) \(h = 2n\) \((001)\) \({\bf a}/2\) \(a\) \(e\) Monoclinic (c unique),
Tetragonal
Orthorhombic,
Cubic
\(k = 2n\) \({\bf b}/2\) \(b\)
\(h + k = 2n\) \(({\bf a}+{\bf b})/2\) \(n\)
\(h + k = 4n\)
\((h, k = 2n)\)
\(({\bf a}\pm{\bf b})/4\) \(d\)
\(h\,\bar{h}\,0\,l\)
\(0\,k\,\bar{k}\,l\)
\(h\,0\,\bar{h}\,l\) \
  \( l = 2n\)     \((11\bar{2}0)\)
\((\bar{2}110)\)
\((1\bar{2}10)\)
\(\{11\bar{2}0\}\) \({\bf c}/2\) \(c\)Hexagonal  
\(h\,h\,\overline{2h}\,l\)
\(\overline{2h}\,h\,h\,l\)
\(h\,\overline{2h}\,h\,l\)
\(l = 2n\) \((1\bar{1}00)\)
\((01\bar{1}0)\)
\((\bar{1}010)\)
\(\{1\bar{1}00\}\) \({\bf c}/2\) \(c\)Hexagonal  
\(hhl\)
\(hkk\)
\(hkh\)
\(l = 2n\)
\(h = 2n\)
\(k = 2n\)
\((1\bar{1}0) \)
\((01\bar{1})\)
\((\bar{1}01)\)
\(\{110\}\) \({\bf c}/2\)
\({\bf a}/2\)
\({\bf b}/2\)
\(c, n\)
\(a, n\)
\(b, n\)
Rhombohedral  
\(hhl, h\bar{h}l\) \(l = 2n\) \((1\bar{1}0),(110)\) \({\bf c}/2\) \(c , n\) Tetragonal  Cubic
\(2h + l = 4n\) \(({\bf a}\pm{\bf b}\pm{\bf c})/4\) \(d\)
\(hkk, hk\bar{k}\) \(h = 2n\) \((01\bar{1}),(011)\) \({\bf a}/2\) \(a, n\)
\(2k + h = 4n\) \(({\bf a}\pm{\bf b}\pm{\bf c})/4\) \(d\)
\(hkh, \bar{h}kh\) \(k = 2n\) \((\bar{1}01),(101)\) \({\bf b}/2\) \(b, n\)
\(2h + k = 4n\) \(({\bf a}\pm{\bf b}\pm{\bf c})/4\) \(d\)

らせん軸による出現則

Type of
reflections
反射の
タイプ
Reflection
condition
出現条件
Screw axis らせん軸Crystallographic coordinate system
to which condition applies
関連する結晶系
Direction
of axis
軸の方向
Screw vector
並進ベクトル
Symbol
記号
\(h00\) \(h = 2n\) \([100]\) \({\bf a}/2\) \(2_1\) Monoclinic (a unique),
Orthorhombic,
Tetragonal
Cubic
\(4_2\)
\(h = 4n\) \({\bf a}/4\) \(4_1, 4_3\)
\(0k0\) \(k = 2n\) \([010]\) \({\bf b}/2\) \(2_1\) Monoclinic (b unique),
Orthorhombic,
Tetragonal
Cubic
\(4_2\)
\(k = 4n\) \({\bf b}/4\) \(4_1, 4_3\)
\(00l\) \(l = 2n\) \([001]\) \({\bf c}/2\) \(2_1\) Monoclinic (c unique),
Orthorhombic
Cubic
\(4_2\) Tetragonal
\(l = 4n\) \({\bf c}/4\) \(4_1, 4_3\)
\(000l\) \(l = 2n\) \([001]\) \({\bf c}/2\) \(6_3\) Hexagonal  
\(l = 3n\) \({\bf c}/3\) \(3_1, 3_2, 6_2, 6_4\)
\(l = 6n\) \({\bf c}/6\) \(6_1, 6_5\)

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Stupidity has a certain charm; ignorance does not. Frank Zappa