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平均μ, 標準偏差σの正規分布乱数を得るためにはBox-Muller法というのがあるそうです。

\( \alpha, \beta\) を [0,1]の一様乱数としたとき、次の二つの数値

\( \sqrt{-\ln{\alpha^{2}}} \sin{ 2\pi\beta} \)
\( \sqrt{-\ln{\alpha^{2}}} \cos{ 2\pi\beta} \)

は平均値0, 標準偏差1の正規分布に即した乱数になります。

[0,1]の一様乱数を二回発生することになりますが、上記の二つの数値に相関はないため、二つの正規分布乱数が得られることになります。
上記の数値にσをかけた後、μを足せば、任意の正規分布乱数の出来上がりです。
以下にC#のコード載せておきます。

// 平均mu, 標準偏差sigmaの正規分布乱数を得る。Box-Muller法による。
public static double NormalDistribution(double mu, double sigma)
{
    if (Flag)
    {
        Alpha = Rn.NextDouble();
        Beta = Rn.NextDouble() * Math.PI * 2;
        BoxMuller1 = Math.Sqrt(-2 * Math.Log(Alpha));
        BoxMuller2 = Math.Sin(Beta);
    }
    else
        BoxMuller2 = Math.Cos(Beta);
    Flag = !Flag;
    return sigma * (BoxMuller1 * BoxMuller2) + mu;
}
static Random Rn = new Random(System.Environment.TickCount);
static double Alpha, Beta, BoxMuller1, BoxMuller2;
static bool Flag = false;

さらに対数正規分布乱数についてです。

対数正規分布は横軸(x軸)を対数に変換すると正規分布に従うような分布のことです。
この分布関数f(x)の平均値をm, 標準偏差をsとします。さらに、この分布関数の横軸を対数に変換した時の平均値(つまりln(x)の平均)をμ, 標準偏差(ln(x)の標準偏差)をσとすると、以下のような関係があります。

\( m=\exp{(\mu + \sigma^2/2)} \)

\( s=m^2 (\exp{(\sigma^2/2) -1}) \)

μとσを左辺にすると

\( \mu = \ln{m^2} – \frac{ \ln{(m^2+s^2)} }{2} \)
\( \sigma= \sqrt{ \ln{(1+\frac{s^2}{m^2})} } \)

となります。この性質を使えば対数正規分乱数のコードは以下のようにかけます。

//平均mu, 標準偏差sigmaの対数正規分布乱数を得る。
//平均と標準偏差を変換し、Box-Muller法によるNormlDistribution関数を呼び出す。
 public static double LogNormalDistribution(double mu, double sigma)
 {
     if (mu <= 0)
         return double.NaN;
     else
     {
         var sigma2= sigma * sigma;
         var val = NormalDistribution(Math.Log(mu) - Math.Log(mu + sigma2) / 2.0, Math.Sqrt(Math.Log(1 + sigma2 / mu / mu)));
         return Math.Exp(val);
     }
 }

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Stupidity has a certain charm; ignorance does not. Frank Zappa