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はじめに

　空間群は230種類存在し、それらは超群/部分群という階層構造で整理することができます。別ページで説明している通り、空間群の部分群には t-部分群と k-部分群があります。前者は、単位格子のサイズは変化しないが結晶類 (空間群が属する32種類の結晶族点群) が変化するような部分群です。後者は、単位格子のサイズは変化する場合もしない場合もありますが、結晶類は不変に保たれる部分群です。

　このページでは、k-部分群の階層構造(グラフ)を紹介します。k-部分群は結晶類が変化しない部分群ですから、最大でも32個のツリー構造を紹介すれば十分です。このうち結晶類 \(1\), \(\bar{1}\), \(\bar{6}\) はそれぞれ一つしか空間群を含みません。また、結晶類 \(6mm\)と\(6/mmm\)、\(6\)と\(622\)、\(3m\)と\(\bar{3}m\) は同じ階層構造を持っています。結局、意味のある k-部分群の階層構造は26個のグラフにまとめることができます。以下の表は、ある空間群が登場するグラフ番号をまとめたものです。

グラフの見方

• 全ての空間群には同型のk-部分群 (表記は同じだがもとの単位格子よりサイズの大きい部分群¹) が存在しますが、このページのグラフ中では同型のk-部分群は表現しません。
  • 同型のk-部分群を表現すると始点と終点が重なるループを書くことになり冗長だからです。
• グラフ中の空間群のレベル(高さ)は、相対的関係のみが意味を持ちます。
  • t-部分群のグラフとは異なり、空間群のレベルと群の位数に関係はありません。
• 線で接続された下位の空間群は、上位の空間群の k-極大部分群であることを示しています。
  • 矢印が出ていない最下層レベルの空間群は、非同型の k-部分群が存在しないことを意味します。
• 同一レベルにある空間群が矢印でつながっている場合、矢先の空間群は矢尻の空間群のk-極大部分群であることを意味しています。
  • 両頭が矢印の場合、両方が互いのk-極大部分群であることを意味します²。
• 空間群記号の背景色が複数存在するグラフは、同一の階層構造を持つ部分群関係をまとめたものです。
• 各グラフの右下に記した番号 (2.5.5.5.など) は International Tables for Crystallography A1 (1st edition) 中のテーブル番号に対応しています。

1. 立方晶系

1.1. 結晶類 \(m\bar{3}m\)

2.5.5.5.

1.2. 結晶類 \(\bar{4}3m\)

2.5.5.4.

1.3. 結晶類 \(432\)

2.5.5.3.

1.4. 結晶類 \(m\bar{3}\)

2.5.3.2.

1.5. 結晶類 \(23\)

2.5.3.1.

2. 六方晶系

2.1. 結晶類 \(6/mmm\), \(6mm\)

2.5.4.4. + 2.5.4.6.

2.2. 結晶類 \(\bar{6}2m\)

2.5.4.5.

2.3. 結晶類 \(622\), \(6\)

2.5.4.1. + 2.5.4.3.

2.4. 結晶類 \(6/m\)

2.5.4.2

3. 三方晶系

3.1. 結晶類 \(3m\), \(\bar{3}m\)

2.5.3.4. + 2.5.3.5.

3.2. 結晶類 \(32\)

2.5.3.3.

3.3. 結晶類 \(\bar{3}\)

2.5.3.2.

3.4. 結晶類 \(3\)

2.5.3.1.

4. 正方晶系

4.1. 結晶類 \(4/mmm\)

2.5.2.7.

4.2. 結晶類 \(\bar{4}2m\)

2.5.2.6.

4.3. 結晶類 \(4mm\)

2.5.2.5.

4.4. 結晶類 \(422\)

2.5.2.4

4.5. 結晶類 \(4/m\)

2.5.2.3.

4.6. 結晶類 \(\bar{4}\)

2.5.2.2.

4.7. 結晶類 \(4\)

2.5.2.1.

5. 直方晶系

5.1. 結晶類 \(mmm\)

2.5.1.6.

5.2. 結晶類 \(mm2\)

2.5.1.5.

5.3. 結晶類 \(222\)

2.5.1.4.

6. 単斜晶系

6.1. 結晶類 \(2/m\)

2.5.1.3.

6.2. 結晶類 \(m\)

2.5.1.2

6.3. 結晶類 \(2\)

2.5.1.1.

脚注

1. International Tables for Crystallography A (5th ed.)では “IIc“、A1 (1st ed.) では “II (Series of maximal isomorphic subgroups)”と表記される部分群のことです。 ↩︎
2. たとえばグラフ1.1.では \(Pm\bar{3}m\) と \(Im\bar{3}m\) が両頭矢印で結ばれています。前者から後者への部分群は、前者の格子定数 \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) をすべて2倍にして、一部の点群操作を取り除くことによって生じます。すなわちタイプIIbです。後者から前者への部分群は、格子定数はそのままで、体心格子並進 \((\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})+\) を取り除くことによって生じます。これはタイプIIcです。 ↩︎