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はじめに

　空間群は230種類存在し、それらは超群/部分群という階層構造で整理することができます。別ページで説明している通り、空間群の部分群には t-部分群と k-部分群があります。前者は、単位格子のサイズは変化しないが結晶類 (空間群が属する32種類の結晶族点群) が変化するような部分群です。後者は、単位格子のサイズは変化する場合もしない場合もありますが、結晶類は不変に保たれる部分群です。

　このページでは、k-部分群の階層構造(グラフ)を紹介します。k-部分群は結晶類が変化しない部分群ですから、最大でも32個のツリー構造を紹介すれば十分です。このうち結晶類 \(1\), \(\bar{1}\), \(\bar{6}\) はそれぞれ一つしか空間群を含みません。また、結晶類 \(6mm\)と\(6/mmm\)、\(6\)と\(622\)、\(3m\)と\(\bar{3}m\) は同じ階層構造を持っています。結局、意味のある k-部分群の階層構造は26個のグラフにまとめることができます。以下の表は、ある空間群が登場するグラフ番号をまとめたものです。

1	\(P1\)	–	47	\(Pmmm\)	5.1.	93	\(P4_222\)	4.4.	139	\(I4/mmm\)	4.1.	185	\(P6_3cm\)	2.1.
2	\(P\bar{1}\)	–	48	\(Pnnn\)		94	\(P4_22_12\)		140	\(I4/mcm\)		186	\(P6_3mc\)
3	\(P2\)	6.3.	49	\(Pccm\)		95	\(P4_322\)		141	\(I4_1/amd\)		187	\(P\bar{6}m2\)	2.2.
4	\(P2_1\)		50	\(Pban\)		96	\(P4_32_12\)		142	\(I4_1/acd\)		188	\(P\bar{6}c2\)
5	\(C2\)		51	\(Pmma\)		97	\(I422\)		143	\(P3\)	3.4.	189	\(P\bar{6}2m\)
6	\(Pm\)	6.2.	52	\(Pnna\)		98	\(I4_122\)		144	\(P3_1\)		190	\(P\bar{6}2c\)
7	\(Pc\)		53	\(Pmna\)		99	\(P4mm\)	4.3.	145	\(P3_2\)		191	\(P6/mmm\)	2.1.
8	\(Cm\)		54	\(Pcca\)		100	\(P4bm\)		146	\(R3\)		192	\(P6/mcc\)
9	\(Cc\)		55	\(Pbam\)		101	\(P4_2cm\)		147	\(P\bar{3}\)	3.3.	193	\(P6_3/mcm\)
10	\(P2/m\)	6.1.	56	\(Pccn\)		102	\(P4_2nm\)		148	\(R\bar{3}\)		194	\(P6_3/mmc\)
11	\(P2_1/m\)		57	\(Pbcm\)		103	\(P4cc\)		149	\(P312\)	3.2.	195	\(P23\)	1.5
12	\(C2/m\)		58	\(Pnnm\)		104	\(P4nc\)		150	\(P321\)		196	\(F23\)
13	\(P2/c\)		59	\(Pmmn\)		105	\(P4_2mc\)		151	\(P3_112\)		197	\(I23\)
14	\(P2_1/c\)		60	\(Pbcn\)		106	\(P4_2bc\)		152	\(P3_121\)		198	\(P2_13\)
15	\(C2/c\)		61	\(Pbca\)		107	\(I4mm\)		153	\(P3_212\)		199	\(I2_13\)
16	\(P222\)	5.3.	62	\(Pnma\)		108	\(I4cm\)		154	\(P3_221\)		200	\(Pm\bar{3}\)	1.4.
17	\(P222_1\)		63	\(Cmcm\)		109	\(I4_1md\)		155	\(R32\)		201	\(Pn\bar{3}\)
18	\(P2_12_12\)		64	\(Cmca\)		110	\(I4_1cd\)		156	\(P3m1\)	3.1.	202	\(Fm\bar{3}\)
19	\(P2_12_12_1\)		65	\(Cmmm\)		111	\(P\bar{4}2m\)	4.2.	157	\(P31m\)		203	\(Fd\bar{3}\)
20	\(C222_1\)		66	\(Cccm\)		112	\(P\bar{4}2c\)		158	\(P3c1\)		204	\(Im\bar{3}\)
21	\(C222\)		67	\(Cmma\)		113	\(P\bar{4}2_1m\)		159	\(P31c\)		205	\(Pa\bar{3}\)
22	\(F222\)		68	\(Ccce\)		114	\(P\bar{4}2_1c\)		160	\(R3m\)		206	\(Ia\bar{3}\)
23	\(I222\)		69	\(Fmmm\)		115	\(P\bar{4}m2\)		161	\(R3c\)		207	\(P432\)	1.3.
24	\(I2_12_12_1\)		70	\(Fddd\)		116	\(P\bar{4}c2\)		162	\(P\bar{3}1m\)		208	\(P4_232\)
25	\(Pmm2\)	5.2.	71	\(Immm\)		117	\(P\bar{4}b2\)		163	\(P\bar{3}1c\)		209	\(F432\)
26	\(Pmc2_1\)		72	\(Ibam\)		118	\(P\bar{4}n2\)		164	\(P\bar{3}m1\)		210	\(F4_132\)
27	\(Pcc2\)		73	\(Ibca\)		119	\(I\bar{4}m2\)		165	\(P\bar{3}c1\)		211	\(I432\)
28	\(Pma2\)		74	\(Imma\)		120	\(I\bar{4}c2\)		166	\(R\bar{3}m\)		212	\(P4_332\)
29	\(Pca2_1\)		75	\(P4\)	4.7.	121	\(I\bar{4}2m\)		167	\(R\bar{3}c\)		213	\(P4_132\)
30	\(Pnc2\)		76	\(P4_1\)		122	\(I\bar{4}2d\)		168	\(P6\)	2.3.	214	\(I4_132\)
31	\(Pmn2_1\)		77	\(P4_2\)		123	\(P4/mmm\)	4.1.	169	\(P6_1\)		215	\(P\bar{4}3m\)	1.2.
32	\(Pba2\)		78	\(P4_3\)		124	\(P4/mcc\)		170	\(P6_5\)		216	\(F\bar{4}3m\)
33	\(Pna2_1\)		79	\(I4\)		125	\(P4/nbm\)		171	\(P6_2\)		217	\(I\bar{4}3m\)
34	\(Pnn2\)		80	\(I4_1\)		126	\(P4/nnc\)		172	\(P6_4\)		218	\(P\bar{4}3n\)
35	\(Cmm2\)		81	\(P\bar{4}\)	4.6.	127	\(P4/mbm\)		173	\(P6_3\)		219	\(F\bar{4}3c\)
36	\(Cmc2_1\)		82	\(I\bar{4}\)		128	\(P4/mnc\)		174	\(P\bar{6}\)	–	220	\(I\bar{4}3d\)
37	\(Ccc2\)		83	\(P4/m\)	4.5.	129	\(P4/nmm\)		175	\(P6/m\)	2.4.	221	\(Pm\bar{3}m\)	1.1.
38	\(Amm2\)		84	\(P4_2/m\)		130	\(P4/ncc\)		176	\(P6_3/m\)		222	\(Pn\bar{3}n\)
39	\(Abm2\)		85	\(P4/n\)		131	\(P4_2/mmc\)		177	\(P622\)	2.3.	223	\(Pm\bar{3}n\)
40	\(Ama2\)		86	\(P4_2/n\)		132	\(P4_2/mcm\)		178	\(P6_122\)		224	\(Pn\bar{3}m\)
41	\(Aba2\)		87	\(I4/m\)		133	\(P4_2/nbc\)		179	\(P6_522\)		225	\(Fm\bar{3}m\)
42	\(Fmm2\)		88	\(I4_1/a\)		134	\(P4_2/nnm\)		180	\(P6_222\)		226	\(Fm\bar{3}c\)
43	\(Fdd2\)		89	\(P422\)	4.4.	135	\(P4_2/mbc\)		181	\(P6_422\)		227	\(Fd\bar{3}m\)
44	\(Imm2\)		90	\(P42_12\)		136	\(P4_2/mnm\)		182	\(P6_322\)		228	\(Fd\bar{3}c\)
45	\(Iba2\)		91	\(P4_122\)		137	\(P4_2/nmc\)		183	\(P6mm\)	2.1.	229	\(Im\bar{3}m\)
46	\(Ima2\)		92	\(P4_12_12\)		138	\(P4_2/ncm\)		184	\(P6cc\)		230	\(Ia\bar{3}d\)

グラフの見方

• 全ての空間群には同型のk-部分群 (表記は同じだがもとの単位格子よりサイズの大きい部分群¹) が存在しますが、このページのグラフ中では同型のk-部分群は表現しません。
  • 同型のk-部分群を表現すると始点と終点が重なるループを書くことになり冗長だからです。
• グラフ中の空間群のレベル(高さ)は、相対的関係のみが意味を持ちます。
  • t-部分群のグラフとは異なり、空間群のレベルと群の位数に関係はありません。
• 線で接続された下位の空間群は、上位の空間群の k-極大部分群であることを示しています。
  • 矢印が出ていない最下層レベルの空間群は、非同型の k-部分群が存在しないことを意味します。
• 同一レベルにある空間群が矢印でつながっている場合、矢先の空間群は矢尻の空間群のk-極大部分群であることを意味しています。
  • 両頭が矢印の場合、両方が互いのk-極大部分群であることを意味します²。
• 空間群記号の背景色が複数存在するグラフは、同一の階層構造を持つ部分群関係をまとめたものです。
• 各グラフの右下に記した番号 (2.5.5.5.など) は International Tables for Crystallography A1 (1st edition) 中のテーブル番号に対応しています。

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1. 立方晶系

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2. 六方晶系

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3. 三方晶系

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4. 正方晶系

4.1. 結晶類 \(4/mmm\)

2.5.2.7.

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5. 直方晶系

5.1. 結晶類 \(mmm\)

2.5.1.6.

5.2. 結晶類 \(mm2\)

2.5.1.5.

5.3. 結晶類 \(222\)

2.5.1.4.

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6. 単斜晶系

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脚注

1. International Tables for Crystallography A (5th ed.)では “IIc“、A1 (1st ed.) では “II (Series of maximal isomorphic subgroups)”と表記される部分群のことです。 ↩︎
2. たとえばグラフ1.1.では \(Pm\bar{3}m\) と \(Im\bar{3}m\) が両頭矢印で結ばれています。前者から後者への部分群は、前者の格子定数 \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) をすべて2倍にして、一部の点群操作を取り除くことによって生じます。すなわちタイプIIbです。後者から前者への部分群は、格子定数はそのままで、体心格子並進 \((\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})+\) を取り除くことによって生じます。これはタイプIIcです。 ↩︎