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4.2. t-部分群

はじめに

　このページでは、t-部分群の階層構造(グラフ)を紹介します。t-部分群の階層構造は結晶族点群の部分群関係に類似しています。すなわち、ある空間群 \(G\) の結晶クラス(に対応する点群)を \(G’\) としたとき、 \(G\) の t-部分群の結晶クラスは必ず \(G’\) の部分群になります。

　ところで、230種類の空間群についてひとつずつ独立に紹介するのは膨大で大変です。そのため、まず高い対称性の空間群を頂点とする大きな階層構造グラフから紹介し、途中の階層に現れる空間群については再度紹介しません。さらに同一の階層構造を持つ空間群をなるべく集約し、空間群記号の背景色によって区別できるようにしています。このような工夫によって、 t-部分群の関係は19 個のグラフにまとめることができます。以下の表は、ある空間群が現れる最初のグラフ番号を表しています。すべての空間群は19 個のグラフのどこかに必ず現れます。

1	\(P1\)		47	\(Pmmm\)	1.1.	93	\(P4_222\)	1.1.	139	\(I4/mmm\)	1.2.	185	\(P6_3cm\)	3.2.
2	\(P\bar{1}\)	1.1.	48	\(Pnnn\)	1.1.	94	\(P4_22_12\)	2.2.	140	\(I4/mcm\)	1.3.	186	\(P6_3mc\)	3.2.
3	\(P2\)	1.1.	49	\(Pccm\)	2.1.	95	\(P4_322\)	2.6.	141	\(I4_1/amd\)	1.3.	187	\(P\bar{6}m2\)	3.1.
4	\(P2_1\)	1.6.	50	\(Pban\)	2.3.	96	\(P4_32_12\)	1.6.	142	\(I4_1/acd\)	1.2.	188	\(P\bar{6}c2\)	3.1.
5	\(C2\)	1.1.	51	\(Pmma\)	4.1.	97	\(I422\)	1.2.	143	\(P3\)	3.1.	189	\(P\bar{6}2m\)	3.1.
6	\(Pm\)	1.1.	52	\(Pnna\)	4.2.	98	\(I4_122\)	1.2.	144	\(P3_1\)	3.3.	190	\(P\bar{6}2c\)	3.1.
7	\(Pc\)	1.1.	53	\(Pmna\)	4.1.	99	\(P4mm\)	1.1.	145	\(P3_2\)	3.3.	191	\(P6/mmm\)	3.1.
8	\(Cm\)	1.1.	54	\(Pcca\)	4.2.	100	\(P4bm\)	2.3.	146	\(R3\)	1.1.	192	\(P6/mcc\)	3.1.
9	\(Cc\)	1.1.	55	\(Pbam\)	2.4.	101	\(P4_2cm\)	2.1.	147	\(P\bar{3}\)	3.1.	193	\(P6_3/mcm\)	3.2.
10	\(P2/m\)	1.1.	56	\(Pccn\)	2.2.	102	\(P4_2nm\)	1.1.	148	\(R\bar{3}\)	1.1.	194	\(P6_3/mmc\)	3.2.
11	\(P2_1/m\)	2.4.	57	\(Pbcm\)	4.1.	103	\(P4cc\)	2.1.	149	\(P312\)	3.1.	195	\(P23\)	1.1.
12	\(C2/m\)	1.1.	58	\(Pnnm\)	2.4.	104	\(P4nc\)	1.1.	150	\(P321\)	3.1.	196	\(F23\)	1.2.
13	\(P2/c\)	1.1.	59	\(Pmmn\)	2.4.	105	\(P4_2mc\)	1.1.	151	\(P3_112\)	3.3.	197	\(I23\)	1.4.
14	\(P2_1/c\)	1.6.	60	\(Pbcn\)	4.2.	106	\(P4_2bc\)	2.3.	152	\(P3_121\)	3.3.	198	\(P2_13\)	1.6.
15	\(C2/c\)	1.1.	61	\(Pbca\)	1.6.	107	\(I4mm\)	1.2.	153	\(P3_212\)	3.3.	199	\(I2_13\)	1.5.
16	\(P222\)	1.1.	62	\(Pnma\)	4.3.	108	\(I4cm\)	1.3.	154	\(P3_221\)	3.3.	200	\(Pm\bar{3}\)	1.1.
17	\(P222_1\)	2.6.	63	\(Cmcm\)	3.2.	109	\(I4_1md\)	1.3.	155	\(R32\)	1.1.	201	\(Pn\bar{3}\)	1.1.
18	\(P2_12_12\)	2.2.	64	\(Cmca\)	4.4.	110	\(I4_1cd\)	1.2.	156	\(P3m1\)	3.1.	202	\(Fm\bar{3}\)	1.2.
19	\(P2_12_12_1\)	1.6.	65	\(Cmmm\)	1.1.	111	\(P\bar{4}2m\)	1.1.	157	\(P31m\)	3.1.	203	\(Fd\bar{3}\)	1.2.
20	\(C222_1\)	1.6.	66	\(Cccm\)	1.1.	112	\(P\bar{4}2c\)	1.1.	158	\(P3c1\)	3.1.	204	\(Im\bar{3}\)	1.4.
21	\(C222\)	1.1.	67	\(Cmma\)	1.1.	113	\(P\bar{4}2_1m\)	2.2.	159	\(P31c\)	3.1.	205	\(Pa\bar{3}\)	1.6.
22	\(F222\)	1.2.	68	\(Ccce\)	1.1.	114	\(P\bar{4}2_1c\)	2.2.	160	\(R3m\)	1.1.	206	\(Ia\bar{3}\)	1.5.
23	\(I222\)	1.2.	69	\(Fmmm\)	1.2.	115	\(P\bar{4}m2\)	1.1.	161	\(R3c\)	1.1.	207	\(P432\)	1.1.
24	\(I2_12_12_1\)	1.2.	70	\(Fddd\)	1.2.	116	\(P\bar{4}c2\)	2.1.	162	\(P\bar{3}1m\)	3.1.	208	\(P4_232\)	1.1.
25	\(Pmm2\)	1.1.	71	\(Immm\)	1.2.	117	\(P\bar{4}b2\)	2.3.	163	\(P\bar{3}1c\)	3.1.	209	\(F432\)	1.2.
26	\(Pmc2_1\)	2.4.	72	\(Ibam\)	1.3.	118	\(P\bar{4}n2\)	1.1.	164	\(P\bar{3}m1\)	3.1.	210	\(F4_132\)	1.2.
27	\(Pcc2\)	2.1.	73	\(Ibca\)	1.2.	119	\(I\bar{4}m2\)	1.2.	165	\(P\bar{3}c1\)	3.1.	211	\(I432\)	1.4.
28	\(Pma2\)	2.1.	74	\(Imma\)	1.3.	120	\(I\bar{4}c2\)	1.2.	166	\(R\bar{3}m\)	1.1.	212	\(P4_332\)	1.6.
29	\(Pca2_1\)	1.6.	75	\(P4\)	1.1.	121	\(I\bar{4}2m\)	1.2.	167	\(R\bar{3}c\)	1.1.	213	\(P4_132\)	1.6.
30	\(Pnc2\)	2.3.	76	\(P4_1\)	1.6.	122	\(I\bar{4}2d\)	1.2.	168	\(P6\)	3.1.	214	\(I4_132\)	1.5.
31	\(Pmn2_1\)	2.4.	77	\(P4_2\)	1.1.	123	\(P4/mmm\)	1.1.	169	\(P6_1\)	3.3.	215	\(P\bar{4}3m\)	1.1.
32	\(Pba2\)	2.3.	78	\(P4_3\)	1.6.	124	\(P4/mcc\)	2.1.	170	\(P6_5\)	3.3.	216	\(F\bar{4}3m\)	1.2.
33	\(Pna2_1\)	2.2.	79	\(I4\)	1.2.	125	\(P4/nbm\)	2.3.	171	\(P6_2\)	3.3.	217	\(I\bar{4}3m\)	1.4.
34	\(Pnn2\)	1.1.	80	\(I4_1\)	1.2.	126	\(P4/nnc\)	1.1.	172	\(P6_4\)	3.3.	218	\(P\bar{4}3n\)	1.1.
35	\(Cmm2\)	1.1.	81	\(P\bar{4}\)	1.1.	127	\(P4/mbm\)	2.4.	173	\(P6_3\)	3.2.	219	\(F\bar{4}3c\)	1.2.
36	\(Cmc2_1\)	3.2.	82	\(I\bar{4}\)	1.2.	128	\(P4/mnc\)	2.5.	174	\(P\bar{6}\)	3.1.	220	\(I\bar{4}3d\)	1.5.
37	\(Ccc2\)	1.1.	83	\(P4/m\)	1.1.	129	\(P4/nmm\)	2.4.	175	\(P6/m\)	3.1.	221	\(Pm\bar{3}m\)	1.1.
38	\(Amm2\)	1.1.	84	\(P4_2/m\)	1.1.	130	\(P4/ncc\)	2.2.	176	\(P6_3/m\)	3.2.	222	\(Pn\bar{3}n\)	1.1.
39	\(Abm2\)	1.1.	85	\(P4/n\)	1.1.	131	\(P4_2/mmc\)	1.1.	177	\(P622\)	3.1.	223	\(Pm\bar{3}n\)	1.1.
40	\(Ama2\)	1.1.	86	\(P4_2/n\)	1.1.	132	\(P4_2/mcm\)	2.1.	178	\(P6_122\)	3.3.	224	\(Pn\bar{3}m\)	1.1.
41	\(Aba2\)	1.1.	87	\(I4/m\)	1.2.	133	\(P4_2/nbc\)	2.3.	179	\(P6_522\)	3.3.	225	\(Fm\bar{3}m\)	1.2.
42	\(Fmm2\)	1.2.	88	\(I4_1/a\)	1.2.	134	\(P4_2/nnm\)	1.1.	180	\(P6_222\)	3.3.	226	\(Fm\bar{3}c\)	1.3.
43	\(Fdd2\)	1.2.	89	\(P422\)	1.1.	135	\(P4_2/mbc\)	2.5.	181	\(P6_422\)	3.3.	227	\(Fd\bar{3}m\)	1.3.
44	\(Imm2\)	1.2.	90	\(P42_12\)	2.2.	136	\(P4_2/mnm\)	2.4.	182	\(P6_322\)	3.2.	228	\(Fd\bar{3}c\)	1.2.
45	\(Iba2\)	1.2.	91	\(P4_122\)	2.6.	137	\(P4_2/nmc\)	2.5.	183	\(P6mm\)	3.1.	229	\(Im\bar{3}m\)	1.4.
46	\(Ima2\)	1.3.	92	\(P4_12_12\)	1.6.	138	\(P4_2/ncm\)	2.2.	184	\(P6cc\)	3.1.	230	\(Ia\bar{3}d\)	1.5.

グラフの見方

空間群と空間群をつなぐ線は、下に向かってt-極大部分群の関係を表しています。
- 二重線や三重線は、正規極大部分群が二つあるいは三つ存在することを示してます。
各グラフ中で同一のレベルに並んでいる空間群は、結晶類の位数が等しいことを意味しています。高いレベルほど位数は大きくなります(結晶族点群の部分群関係を参照)。
空間群記号の背景色が複数存在するグラフは、同一の階層構造を持つ部分群関係をまとめたものです。
- 最上位レベルでは、複数の空間群に対して独立の背景色が割り当てられています。
- 最上位を除くレベルでは、一つの空間群に対して複数の背景色が割り当てられることがあります (例えば1.1.グラフ中の\(P23\)) 。このような空間群は、それらの色に対応する空間群の共通の部分群であることを意味します。
全てのグラフの最下層には結晶類 \(3\), \(m\), \(2\), \(\bar{1}\) のいずれかに属する空間群が位置しています。実はこれらの空間群は真の最下層ではなく、t-極大部分群として \(P1\) を有しています。本来であれば \(P1\) に向けて下向きの線でつなげるべきなのですが、グラフの巨大化を避けたいという理由で省略しています。
各グラフの右下に記した番号 (2.4.1.1.など) は International Tables for Crystallography A1 (1^st edition) 中のテーブル番号に対応しています。