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空間群の部分群

部分群の分類

　一般に結晶は相転移に伴って空間群が変化します。その相転移が原子の秩序/無秩序現象やわずかな変位によって起こる場合、転移前後の空間群は部分群/超群の関係となります。ここでは、空間群同士の部分群/超群の関係性(分類や性質)を説明します1。なお空間群の階層構造を明確にするために、極大部分群 (maximal subgroup)/極小超群(minimal supergroup)2 のみを考慮します。

　まず、空間群の部分(空間)群を以下の二つに分類することにします。

  1. 並進操作は保存されるが、それ以外の対称操作 (点群操作) の一部が失われるような部分群 (t-部分群)
  2. 並進操作の一部は失われるが、それ以外の対称操作が保存される部分群 (k-部分群)

1のケースを t-部分群, 2のケースをk-部分群といいます3。もちろん、並進操作と点群操作の両方が失われるような部分群もありますが、これは「t-部分群のk-部分群」と考えることが出来ますから分類は不要です。表現の流儀4によって t-部分群をタイプI、k-部分群をタイプIIと呼ぶことがあります。さらにタイプIIは実用上の理由から 三つのサブタイプに分けられているのですが、International Tables for Crystallography の Volume A (5th edition, 2002, 以下ITA 5th) 以前と Volume A1 (1st edition, 2004, 以下ITA1 1st) 以降で、定義が若干異なります。さらにこのサブタイプは、同型部分群 (i-部分群)という概念とも関係します。このように空間群の部分群の分類はややこしい状況になっておりますため、以下に表としてとまとめてみました。

失われる操作同型か否かITAの表記単位格子の
サイズ
ITA 5thITA1 1st
t-
部分群		もとの群から
点群操作の
一部が低下		非同型
(non-isomorphic)		IIもとの群の
単位格子と
同一
k-
部分群		もとの群から
並進操作の
一部が低下		IIaII (Loss of centring translations)
IIbII (Enlarged unit cell)もとの群の
単位格子より
大きい
同型
(isomorphic)		IIcII (Series of maximal
isomorphic subgroups)

以下に表中の用語について説明を補足します。

同型部分群

　Isomorphic(同型)な関係にある部分群のことです。i-部分群と表現されることもあります。同型とは、群\(G_1\)と\(G_2\)について、もし\(G_1\)の元と\(G_2\)の元を一対一で結びつけるような写像 \(f\) が存在したときの、\(G_1\)と\(G_2\)の関係のことをいいます。写像 \(f\) は当然全単射関数ということになります。群\(G_1\)と\(G_2\)が同型であれば、群論的な立場では全く同じ性質の群とみなすことが出来ます (同型については、こちらのページもご覧ください)。

　表記が同一の空間群は必ず同型であり、表記が異なる空間群は基本的に同型ではありません5。したがって殆どの場合、 i-部分群はもとの空間群と同じ表記となりますが、基底ベクトルは必ず異なっています。

I (I-Maximal subgroup)

　”t-“の定義と完全に同じなのですが、ITA 5th でも ITA1 1st でも “I“という記号で表現されます。もとの群から点群操作の一部だけを取り除いた群であり、基底の並進ベクトルは変化しません(つまり単位格子は同一)。点群操作の一部を除去するため、同型(isomorphic)な関係にはなり得ません。

　例えば \(P2\)に対する \(P1\) や、\(Fd\bar{3}m\) に対する \(F\bar{4}3m\) などが、このタイプに属します。

IIa = II (Loss of centring translations)

　k-部分群の一種であり、もとの空間群から複合格子成分を取り除いた部分群のことを言います。ITA 5th ではIIa と表現され、 ITA1 1st では II (Loss of centring translations) と表現されています。

　もとの空間群が\(P\) 格子である場合は、このタイプの部分群は存在しません。\(I\), \(F\), \(A\), \(B\), \(C\), \(R\) (六方格子設定の場合) 格子のいずれかであった場合は、このタイプの部分群が必ず存在します。複合格子成分を取り除いただけですので、単位格子のサイズは変化しません。また、同型な関係にはなることもありません。

　例えば \(C2\)に対する \(P2\) や、\(Im\bar{3}m\) に対する \(Pm\bar{3}m\) などが、このタイプに属します。

II (Enlarged unit cell)

　k-部分群の一種です。並進操作の一部を取り除いて、単位格子が大きくなった部分群のことです。以下に説明する IIb と IIc の和集合です。このタイプの部分群は無限に存在します。

IIb

　II (Enlarged unit cell) に分類される部分群のうち、同型ではない部分群のことです。

IIc = II (Series of maximal isomorphic subgroups)

　II (Enlarged unit cell) に分類される部分群のうち、同型な部分群のことです。ITA 5th ではIIc と表現され、 ITA1 1st では II (Series of maximal isomorphic subgroups) と表現されています。

　例えば \(P2\) (主軸は\(b\)) に対して、\(b\)軸を2倍にした単位格子を持つ \(P2\) や \(P2_1\)は、どちらもII (Enlarged unit cell) タイプの極大部分群です。\(P2\) は同型部分群なのでIIc であり、\(P2_1\) は非同型部分群なので IIb です。

部分群の例

　ここからは、いくつかの空間群を例にして、最大部分群の性質を見ていきましょう。ITA1 (1st ed.)の表記法に則って説明していきます。

例1: \(P1\)

まず最初の例は \(P1\) です。\(P1\) は恒等変換以外の点群操作を含まないので、I タイプの部分群はありません。また複合格子もないので、IIa タイプもあり得ません。

（以下書きかけ）

脚注

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  1. もちろん空間群から部分群として点群を取り出すこともできます。このような点群をサイトシンメトリー (site symmetry) といいます。詳しくはこちらを参照してください。 ↩︎
  2. 最大部分群/最小超群と訳されることもありますが、このHPでは極大部分群/極小超群と表記します。群 \(G\) の部分群 \(H\) が極大部分群であるための要件は、\(H\) の超群となるような \(G\) の部分群が (\(G\) や \(H\) そのものは除いて) 存在しないことです。 ↩︎
  3. 「t-」 のドイツ語 translationengleich (「同じ並進」の意)、「k-」 は klassengleiche (「同じクラス」の意)の頭文字です。 ↩︎
  4. 英語圏の結晶学者はタイプI, IIという表現を好むように思われます。ITAでもタイプI, IIの表現が採用されています ↩︎
  5. 例外は、①基底ベクトルの変換 (単位格子の取り方) によって見かけ上空間群表記が変わる場合 (例えば\(Pma2\)と\(P2mb\)など, こちらを参照)と、② 鏡像の関係にある空間群の場合 (例えば \(P4_1\)と\(P4_3\)など, こちらを参照) があります。 ↩︎
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