\(P321\) と \(P312\)
点群 \(32\) に属する空間群のなかに、\(P321\) と \(P312\) があります。点群 \(321\) と点群 \(312\) は代数的には同じ構造をもつので、点群だけの議論であれば両者を区別する必要はありません。ところが、空間群では並進方向と回転軸方向の対応まで含めて扱うため、\(P321\) と \(P312\) は別の空間群になります。
言い換えると、\(P321\) と \(P312\) は「同じ記号の並べ替え」ではありません。違っているのは見た目だけではなく、どの方向に \(2\) 回軸が存在するか です。その違いは、対称操作の具体形にも、一般点の並び方にも、そのまま現れます。
なぜ区別が必要なのか
\(3\) 回回転軸を \(c\) 軸に取り、それに直交する底面内の並進ベクトルを \(a,b\) とします。このとき、\(3\) 回回転の要請により、\(2\) 回回転軸は底面内に 3 方向（正負を区別すれば 6 方向）現れます。しかし、その向きは任意ではなく、空間群として成立する場合は次の二通りに限られます。
- ケース①：\(2\) 回軸が \(a\) や \(b\) の方向にある。
- ケース②：\(2\) 回軸が \(a-b\) や \(a+2b\) の方向にある。
この二つは、底面から見ると \(30^\circ\) だけずれた関係にあります。ケース①が \(P321\)、ケース②が \(P312\) に対応します。したがって、この二つは「同じ点群を別の順序で書いたもの」ではなく、同じ点群に属する別々の空間群 です。
ケース①: 2回回転軸が \(a\) や \(b\) の方向と一致
ケース②: 2回回転軸が \(a-b\) や \(a+2b\) の方向と一致
対称操作と一般点も異なる
\(P321\) と \(P312\) の違いは、単に HM 記号の順序だけではありません。各対称操作を Seitz 記号や一般点で書き下すと、\(2\) 回軸の向きの違いがそのまま対称操作の違いとして現れます。そのため、一般点の座標の並びも一致しません。すなわち、\(P321\) と \(P312\) は、似た名前の同義語ではなく、実体として異なる空間群です。
同様の関係をもつ空間群
このような「HM 記号の第 2・第 3 位置の順序が異なるだけに見えるが、実際には別の空間群である」という関係は、三方晶系・六方晶系・正方晶系に現れます。代表的な例を挙げると、次の通りです。
三方晶系
- \(P312\) と \(P321\)（点群 \(32\)）
- \(P3_112\) と \(P3_121\)（点群 \(32\)）
- \(P3_212\) と \(P3_221\)（点群 \(32\)）
- \(P3m1\) と \(P31m\)（点群 \(3m\)）
- \(P3c1\) と \(P31c\)（点群 \(3m\)）
- \(P\bar{3}1m\) と \(P\bar{3}m1\)（点群 \(\bar{3}m\)）
- \(P\bar{3}1c\) と \(P\bar{3}c1\)（点群 \(\bar{3}m\)）
六方晶系
- \(P6_3cm\) と \(P6_3mc\)（点群 \(6mm\)）
- \(P\bar{6}m2\) と \(P\bar{6}2m\)（点群 \(\bar{6}m2\)）
- \(P\bar{6}c2\) と \(P\bar{6}2c\)（点群 \(\bar{6}m2\)）
- \(P6_3/mcm\) と \(P6_3/mmc\)（点群 \(6/mmm\)）
正方晶系
- \(P4_2cm\) と \(P4_2mc\)（点群 \(4mm\)）
- \(P\bar{4}2m\) と \(P\bar{4}m2\)（点群 \(\bar{4}2m\)）
- \(P\bar{4}2c\) と \(P\bar{4}c2\)（点群 \(\bar{4}2m\)）
- \(I\bar{4}2m\) と \(I\bar{4}m2\)（点群 \(\bar{4}2m\)）
- \(P4_2/mmc\) と \(P4_2/mcm\)（点群 \(4/mmm\)）
- \(P4_2/nmc\) と \(P4_2/ncm\)（点群 \(4/mmm\)）
これらはいずれも、点群だけを見れば同じ結晶類に属します。しかし、空間群としては「どの対称方向が格子並進 \(a,b,c\) に沿うのか」が異なるため、別の空間群として扱う必要があります。
物性テンソルを扱うときの注意
この違いが特に問題になるのは、弾性率テンソル、圧電テンソル、電気光学テンソル、非線形光学テンソルなど、座標軸に依存して成分を書く物理量 を扱うときです。
まず重要なのは、物性テンソルの許容形や独立成分の数は、基本的には点群（あるいは場合によってはラウエクラス）によって決まるということです。したがって、\(P321\) と \(P312\) はどちらも点群 \(32\) に属するので、独立成分の数そのものは同じです。
しかし、だからといってテンソル成分をそのまま同一視してよいわけではありません。文献に載っているテンソル形は、多くの場合「\(2\) 回軸を \(x\) 軸に取る」などの標準座標系で書かれています。ところが、\(P321\) 型と \(P312\) 型では、その \(2\) 回軸が結晶学的な \(a,b\) 軸に対して異なる方向を向いています。そのため、固定した結晶軸 \((a,b,c)\) で成分表示すると、非零成分の位置や符号関係が変わります。
たとえば、点群 \(32\) の標準形として与えられた弾性率テンソルや圧電テンソルを \(P312\) 型結晶に適用する場合には、まず「その標準形がどの軸の取り方を仮定しているか」を確認し、必要に応じて底面内で軸変換を行うことになります。単に「同じ点群だから同じ式をそのまま使える」と考えると、成分の対応を取り違えてしまうおそれがあります。
具体的に見てみましょう。点群 \(32\) の弾性スティフネステンソルを Voigt 表記 \(C_{\alpha\beta}\) で書くと、独立成分は 6 個です。321 設定と 312 設定の \(6 \times 6\) 行列を並べると、その違いが一目で分かります。\[C_{\alpha\beta}^{(321)} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & 0 & 0 \\\\ C_{12} & C_{11} & C_{13} & -C_{14} & 0 & 0 \\\\ C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\\\ C_{14} & -C_{14} & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & C_{14} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{14} & C_{66} \end{pmatrix}\]\[C_{\alpha\beta}^{(312)} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & C_{15} & 0 \\\\ C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & -C_{15} & 0 \\\\ C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & -C_{15} \\\\ C_{15} & -C_{15} & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -C_{15} & 0 & C_{66} \end{pmatrix}\]ただし \(C_{66} = (C_{11} – C_{12})/2\) です。321 設定では \(C_{14}\) が非零（\(C_{15} = 0\)）、312 設定では \(C_{15}\) が非零（\(C_{14} = 0\)）となっており、非対角成分の「座り方」が入れ替わっていることが分かります。独立成分の数はどちらも 6 個で同じですが、文献の標準形をそのまま使ってよいかどうかは、自分の結晶がどちらの設定に該当するかに依存するわけですね。
- テンソルの 独立成分数 は同じでも、
- 固定した結晶軸で見た 成分配置 は同じとは限らず、
- 文献値を使うときは 軸の定義 を必ず確認しておきましょう。
これは \(P321/P312\) に限らず、本ページで挙げた他のペアにも共通する注意点です。特に、正方晶系や六方晶系の空間群でテンソル量を扱うときは、HM 記号の順序を単なる表記上の違いと見なさないよう気をつけましょう。
混同しやすい別の話
本ページで扱っているのは、「HM 記号の第 2・第 3 位置の順序が異なる」タイプの区別です。これは、右手系・左手系の関係にあるエナンチオモルフィックな空間群の組とは別の話です。たとえば、\(P3_121\) と \(P3_221\) の関係は、本ページの主題とは異なる種類の区別です。両者を混同しないよう気をつけましょう。
まとめ
- HM 記号では、特に三方晶系・六方晶系・正方晶系の一部で、順序そのものが本質的 です。
- \(P321\) と \(P312\) は同じ点群 \(32\) に属するものの、空間群としては別物です。
- この違いは、\(2\) 回軸などの対称方向と格子並進方向の対応の違いに由来します。
- 物性テンソルを扱う際には、点群だけでなく、採用している座標軸の定義 にも注意が必要です。
空間群記号の順序は、単なる見た目の問題ではありません。記号の順番が変わるということは、対称方向と格子の対応関係が変わるということであり、その違いは一般点の取り方にも、物性テンソルの成分表示にも現れます。HM 記号を読むときは、「何が存在するか」だけでなく、「それがどの方向にあるか」まで意識することが大切です。