前ページでは、ロドリゲス空間における \(SO(3)\) の密度分布について、結論だけを述べました。ここではその背景にあるヤコビアン (Jacobian) という考え方を説明します。ヤコビアンは、ひとことで言えば「座標変換によって、微小な長さ・面積・体積がどのくらい拡大/縮小されるか」を表す量です。1変数の微分係数 \(dx/dt\) の多変数版だと思うと見通しがよくなります。まずは行列式の意味を確認しておきましょう。
行列式とは
行列式 (determinant) は、正方行列に対して定義されるスカラー量です。ここでは \(3 \times 3\) 行列$$
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$ を考えます。この行列の行列式は $$\det A=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$で与えられます1。行列 \(A\) を線形変換とみなすと、行列式の絶対値 \( |\det A| \) は体積の拡大率を表します。例えば、単位立方体を \(A\) で変換したときにできる平行六面体の体積は \( |\det A| \) です。列ベクトルを \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\) と書けば、$$A=(\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2\ \mathbf{a}_3)$$であり、$$|\det A|$$は \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\) が張る平行六面体の体積になっています。したがって、行列式は「3本のベクトルがどれだけ 3次元空間を張っているか」を測る量だと理解できます。また、符号には向きに関する情報が入っています。
- \( \det A > 0 \): 向き (右手系/左手系) を保つ
- \( \det A < 0 \): 向きを反転する
- \( \det A = 0 \): どこかの次元につぶれている (体積が0になる)
このことから、回転行列 \(R\) が \( \det R = 1 \) の性質を持つことは、「長さや角度を保つだけでなく、向きも保つ」ことを意味しています。鏡映、対称心、回反のような変換は \( \det R = -1 \) になります。
ヤコビアンとは
3変数の座標変換 $$ (u,v,w)=\mathbf{f}(x,y,z) $$
を考えます。すなわち$$u=u(x,y,z),\qquad v=v(x,y,z),\qquad w=w(x,y,z)$$です。このとき、各成分の偏微分を並べた \(3\times 3\) 行列 $$J=\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z}\\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z}\\
\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}
\end{pmatrix}
$$をヤコビ行列 (Jacobian matrix) と呼び、さらにその行列式$$
\det J =\det\left(\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right)
$$をヤコビアン (Jacobian determinant) と呼びます。
これは、点 \((x,y,z)\) の近傍で座標変換を一次近似したときの線形変換の行列です。したがって、行列式の幾何学的意味から、微小体積要素は$$
du\,dv\,dw=\left|
\det\left(\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right)
\right| dx\,dy\,dz $$ のように変換されます。絶対値が付くのは、体積は負にならないからです。 1変数の変数変換 \(du=(du/dx)\,dx\) の、ちょうど 3変数版だと思えばよいです。 確率密度の変換でもまったく同じ考え方を使います。例えば \((x,y,z)\) 空間の密度を \(p_{xyz}(x,y,z)\)、\((u,v,w)\) 空間の密度を \(p_{uvw}(u,v,w)\) とすれば、
$$ p_{xyz}(x,y,z)\,dx\,dy\,dz = p_{uvw}(u,v,w)\,du\,dv\,dw $$ より、$$
p_{xyz}(x,y,z)= p_{uvw}(\mathbf{f}(x,y,z))
\left| \det\left(\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right) \right|
$$となります。前ページで扱った「\(S^3\) 上では一様だが、ロドリゲス空間では一様でない」という話は、まさにこの密度変換の問題です。
体積要素の変換
ヤコビアンの役割は、3変数の変数変換公式
$$ \iiint_{\Omega_{uvw}} g(u,v,w)\,du\,dv\,dw = \iiint_{\Omega_{xyz}} g(\mathbf{f}(x,y,z))
\left| \det\left(\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right) \right| dx\,dy\,dz $$ に現れます。これが 3次元版の置換積分法です。
実際にヤコビアンを使うときは、以下の2点で混乱しやすいです。
- \( \partial(u,v,w)/\partial(x,y,z) \) を使うのか、\( \partial(x,y,z)/\partial(u,v,w) \) を使うのか
- 絶対値を付けるかどうか
前者は「どちら向きの変換式を書いているか」に依存します。後者は「体積・確率密度」なら絶対値が必要、向きまで追跡する幾何学の議論では符号付きのまま扱うことがあります。
極座標（円柱座標）と球座標のヤコビアン
円柱座標（極座標の3次元版）
直交座標 \((x,y,z)\) を$$
x=r\cos\phi,\qquad y=r\sin\phi,\qquad z=z
$$で表します（最後の \(z\) はそのままです）。このときヤコビ行列は$$
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\phi,z)}=
\begin{pmatrix}
\cos\phi & -r\sin\phi & 0\\
\sin\phi & r\cos\phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$となるので、ヤコビアンは$$
J=\det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\phi,z)}\right)=r
$$です。したがって体積要素は$$
dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\phi\,dz$$となります。極座標で \(r\) が現れる理由は、円周方向の微小長さが \(r\,d\phi\) になるからです。円柱座標でも本質は同じです。
球座標
次に 3次元球座標を考えます。ここでは、前ページと同様に余緯度を \(\theta\)、経度を \(\phi\) とし、$$
x=\rho\sin\theta\cos\phi,\qquad
y=\rho\sin\theta\sin\phi,\qquad
z=\rho\cos\theta
$$と書きます。このときヤコビ行列は$$
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\phi)}=\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi\\
\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi\\
\cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \end{pmatrix}
$$であり、計算すると$$
\left| \det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\phi)}\right) \right| = \rho^2\sin\theta
$$となります。したがって体積要素は$$
dx\,dy\,dz = \rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\phi
$$です。さらに、\(\rho=1\) の単位球面上では面積要素が$$
dS=\sin\theta\,d\theta\,d\phi
$$になります。前々ページの球面キャップや球面三角形の面積積分で \(\sin\theta\) が現れたのは、このヤコビアンに対応しています。
ロドリゲス空間と単位四元数のヤコビアン
ここからが本題です。ロドリゲス座標 \(\mathbf{r}=(x,y,z)\) と単位四元数 \(q=(s,\mathbf{v})\) の関係は$$q=\frac{1}{\sqrt{1+\| \mathbf{r} \|^2}}(1,\mathbf{r})$$でした。ここで$$
s=\frac{1}{\sqrt{1+ \| \mathbf{r} \|^2}},\qquad \mathbf{v}=s\mathbf{r}
$$とおきます。ここで注意すべき点があります。この写像は$$
\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4
$$の写像であり、しかも像は \(S^3\) 上に制限されています。したがって、前節までのような \(3\times 3\) のヤコビアン行列式をそのまま取ることはできません。ここではその代わりに Gram 行列を使います。
Gram行列とは
複数のベクトル \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\) があるとき、それらの内積を並べた行列
$$G=
\begin{pmatrix}
\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_3\\
\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_3\\
\mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_3
\end{pmatrix}
$$を Gram 行列（グラム行列）と呼びます。成分で書けば$$
G_{ij}=\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j
$$です。Gram 行列の行列式 \(\det G\) は、\(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\) が張る平行六面体の体積の2乗を与えます。したがって、その体積は$$
\sqrt{\det G}
$$で与えられます。この考え方は、正方行列のヤコビアン \(|\det J|\) を非正方行列の場合に拡張したものになっています。実際、もし \(J\) が正方行列なら$$
\det(J^{\mathsf T}J)=(\det J)^2
$$なので、$$
\sqrt{\det(J^{\mathsf T}J)}=|\det J|
$$となり、通常のヤコビアンの絶対値と一致します。
今回の写像での Gram行列
\(\mathbf{r}\) の各成分を \(r_i\) とすると、\(\partial q/\partial r_i\) を列ベクトルとして並べた \(4\times 3\) 行列を \(J\) と書けます。このとき、\(S^3\) 上の 3次元体積要素の変換率は$$
\sqrt{\det(J^{\mathsf{T}}J)}
$$で与えられます（\(J^{\mathsf{T}}J\) は \(3\times 3\) の Gram 行列）。
計算を簡単にするため、\(\rho^2=\|\mathbf{r}\|^2\) とおきます。\(s=(1+\rho^2)^{-1/2}\) なので$$
\frac{\partial s}{\partial r_i}=-s^3 r_i
$$です。また \(\mathbf{v}=s\mathbf{r}\) から$$
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial r_i}=s\mathbf{e}_i – s^3 r_i \mathbf{r}
$$となります（\(\mathbf{e}_i\) は標準基底ベクトル）。これらを用いて内積を計算すると、Gram 行列 \(G=J^{\mathsf{T}}J\) は$$
G = s^2 I – s^4 \mathbf{r}\mathbf{r}^{\mathsf{T}}
$$と書けます。ここで \(I\) は \(3\times 3\) 単位行列です。したがって$$
\det G = \det\left(s^2 I – s^4 \mathbf{r}\mathbf{r}^{\mathsf{T}}\right)
s^6 \det\left(I – s^2 \mathbf{r}\mathbf{r}^{\mathsf{T}}\right)
$$です。
\(\mathbf{r}\mathbf{r}^{\mathsf{T}}\) は階数1の行列なので、固有値は \( \|\mathbf{r}\|^2 \) と \(0,0\) です。よって $$ \det\left(I – s^2 \mathbf{r}\mathbf{r}^{\mathsf{T}}\right)=1-s^2\|\mathbf{r}\|^2 $$
となり、$$\det G = s^6(1-s^2\|\mathbf{r}\|^2)$$を得ます。ここで \(s^2=(1+\|\mathbf{r}\|^2)^{-1}\) を代入すると$$
1-s^2\|\mathbf{r}\|^2 =1-\frac{\|\mathbf{r}\|^2}{1+\|\mathbf{r}\|^2}=\frac{1}{1+\|\mathbf{r}\|^2}
s^2$$なので、$$\det G = s^8$$すなわち$$
\sqrt{\det G}=s^4=\frac{1}{(1+\|\mathbf{r}\|^2)^2}
$$となります。したがって、\(S^3\) 上の一様体積要素（すなわち \(SO(3)\) の Haar 測度に対応する体積要素）は、ロドリゲス座標 \(\mathbf{r}\) で書くと$$
d\mu \propto \frac{1}{(1+\|\mathbf{r}\|^2)^2}\,d^3\mathbf{r}
$$となります。よって密度関数は$$
P(\mathbf{r}) \propto \frac{1}{(1+\|\mathbf{r}\|^2)^2}
$$であり、前ページで述べた式が得られます。
前ページ脚注で触れた「スケール因子の4乗」という直観は、ここでより厳密に確認されたことになります。実際、\(\sqrt{\det G}=s^4\) がちょうどその役割を果たしています。
まとめ
行列式とヤコビアンの要点を、3変数の見方でまとめると以下の通りです。
- \(3\times 3\) 行列の行列式の絶対値は、線形変換による体積の拡大率を表す
- \(3\times 3\) ヤコビアンは、一般の座標変換を局所的に見たときの体積拡大率を表す
- 円柱座標では \(r\)、球座標では \(\rho^2\sin\theta\) がヤコビアンとして現れる
- ロドリゲス空間では、単位四元数 \(S^3\) からの体積要素変換（Gram 行列を介した計算）により$$
P(\mathbf{r}) \propto (1+\|\mathbf{r}\|^2)^{-2}
$$が得られる
ヤコビアンは一見すると単なる計算テクニックに見えますが、実際には「座標を変えると密度がどう見えるか」を支配する本質的な量です。回転空間の議論では、特に「どの空間で一様なのか」を取り違えないために重要になります。
脚注
- 一般に、\(n \times n\)の行列\(A\) (成分を \(a_{ij}\)とする) の行列式は、$$
\det A=\sum_{\sigma\in S_n} s(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}
$$ただし、\(S_n\) は\(\{1,2,..,n\}\) を並び替えた全ての集合 (\(n!\) 個)、\(\sigma\) はその中のひとつ、\(s(\sigma\)) はその並び替えが偶置換ならば1, 奇置換ならば-1。 ↩︎