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　これまで球面幾何や回転に関する様々な表現を学んできました。それらの知識を総動員して、実際の結晶のような回転対称性を有する物体を対象に、方位差分布についての考察をします。

点群 \(1, 2, 3, 4, 6 \) の場合

　まず最も簡単な対称要素として、1方向のみの \(n\) 回回転要素を考えます。すなわち、「1方向の \(n\) 回回転要素を持つ物体が完全にランダムな方位で大量に分布しているとき、2体間の方位差 \(\theta\) の分布関数はどのような形になるか？」 という問題です。これは、たくさんの物体から一つを選び、それを基準 (ロドリゲス空間中の原点) として他の物体との方位差分布を求めることと等価です。また、基準物体の回転軸をロドリゲス空間のどの向き (例えばX軸) と一致させても一般性を失いません。さらに前のページで議論したように、回転操作によってロドリゲス空間は押し込まれる (原点から遠い点が原点の近くの点と等価になる) ので、考慮すべき領域は制限する必要があります。

点群 \(1\)

点群 \(2, 3, 4, 6\)

　\(\rho > \tan(\pi/2n)\) のケースでは、対象外の球面領域、すなわち青で示したキャップの面積を取り除く必要があります。キャップの面積は球面の幾何学 のページで述べたとおり、\(2\pi\rho\left\{\rho-\tan(\pi/2n)\right\}\)であり、それが二つあるので、領域内に含まれる球面の面積 (赤) は $$
4\pi\rho^2 -2\times2\pi\rho\left\{\rho-\tan(\pi/2n)\right\} = 4\pi\rho\tan\frac{\pi}{2n}
$$となります。この時、方位差分布関数 \(F\) は $$
F(\rho) = 4\pi\rho\tan\frac{\pi}{2n} P_n(\rho) = \frac{4n\rho\tan(\pi/2n)}{\pi (1+ \rho^2)^2}\\
F(\theta) = F(\rho)\frac{d\rho}{d\theta} = F(\rho) \frac{1+\rho^2}{2} = \frac{2n\rho}{\pi(1+\rho^2)} \tan\frac{\pi}{2n}\\
=\frac{2n}{\pi}\frac{\tan(\theta/2)}{1+\tan^2(\theta/2)}\tan\frac{\pi}{2n} = \frac{n}{\pi}\sin\theta \tan\frac{\pi}{2n}
$$という簡単な形になります。ここで、押し込まれた密度関数 \(P_n(\rho)\) は \(P(\rho)\) を一様に \(n\) 倍した関数であること、後半は三角関数の公式³を適用したことにご注意ください。以上をまとめます。1方向に \(n\) 回回転要素を有する物体がランダムに配向したとき、その方位差 (ミスオリエンテーション) 分布関数 \(F\) は、以下の通りです。$$
F(\theta) = \frac{n}{\pi}(1-\cos\theta) \qquad (\theta \le \pi/n\ )\\
F(\theta) = \frac{n}{\pi}\sin\theta \tan\frac{\pi}{2n} \qquad (\pi/n\ < \theta < \pi )$$

点群 \(2, 3, 4, 6\) の方位差分布グラフ

　各点群に対する各区間の範囲を以下にまとめます。

点群	第一区間	第二区間
\(2\)	\(\rho \le 1\) あるいは \(\theta \le \pi/2=90^\circ\)	\(1< \rho\) あるいは \(\pi/2=90^\circ < \theta \le \pi =180^\circ\)
\(3\)	\(\rho \le \sqrt{3}/3\) あるいは \(\theta \le \pi/3=60^\circ\)	\(\sqrt{3}/3 < \rho\) あるいは \(\pi/3=60^\circ < \theta \le \pi =180^\circ\)
\(4\)	\(\rho \le \sqrt{2}-1\) あるいは \(\theta \le \pi/4=45^\circ\)	\(\sqrt{2}-1 < \rho\) あるいは \(\pi/4=45^\circ < \theta \le \pi =180^\circ\)
\(6\)	\(\rho \le 2-\sqrt{3}\) あるいは \(\theta \le \pi/6=30^\circ\)	\(2-\sqrt{3} < \rho\) あるいは \(\pi/6=30^\circ < \theta \le \pi =180^\circ\)

具体的にこの関数の形を示します。全球が領域内に収まる範囲 (第一区間) では急速に増加します。球面が領域外にはみ出すと、増加は緩やかとなり\(\theta = \pi/2\) で最大となります。その後は減少に転じ \(\theta = \pi\) でゼロになります。

点群 \(222, 32, 422, 622\) の場合

　次はひとつの \(n\) 回回転軸に対して、それと直交する\(2\) 回回転軸が存在する場合を考えましょう。なお、以降の点群ではすべて \(\rho\) あるいは \(\theta\) の範囲で場合分けが必要です。それぞれの範囲 (区間) に対応して、球面の面積を \(A_1, A_2, ..\) 、方位差分布関数を \(F_1, F_2, ..\) と表記することにします。

点群 \(222\)

　点群 \(222\) は直交する三本の2回回転軸を有します。それらをX, Y, Z 軸に一致させたとき、押し込まれる領域は \(|x| \le 1\ \&\ |y| \le 1\ \&\ |z| \le 1\) (つまり辺の長さ2の立方体) となります。多重度が 4 ですので、密度関数も一様に4倍になります。

第一区間

第二区間

第三区間

　これで方針が決まりました。まずキャップ重なりについて、球の半径が \(\rho\) であること (つまり係数 \(\rho^2\) が必要) と、\(\cos\Theta = 1/\rho\) であることを考慮して、$$
A_3(\rho)= A_2(\rho) +12 \times \left[ 2\rho^2\cos^{-1}( \cot^2 \Theta) -4\rho\cos^{-1}(\cot \Theta) \right]
$$と求まります。ここから\(F\)を求めましょう。$$
F_3(\rho) = A_3(\rho) P_{222}(\rho) =A_2(\rho)P_{222}(\rho) + 96\frac{\rho^2\cos^{-1}( \cot^2 \Theta) -2\rho\cos^{-1}(\cot \Theta)}{\pi^2 (1+ \rho^2)^2}
$$となり、\(\textbf{r} \to \theta\) と変換して、$$
F_3(\theta) = F_3(\rho)\frac{d\rho}{d\theta} = F_3(\rho) \frac{1+\rho^2}{2}
= F_2(\theta) + \frac{48}{\pi^2}\frac{\rho^2\cos^{-1}( \cot^2 \Theta) -2\rho\cos^{-1}(\cot \Theta)}{1+ \rho^2}\\
= F_2(\theta) +\frac{24}{\pi^2} \left[ \cos^{-1}( \cot^2 \Theta)(1-\cos\theta)-2\cos^{-1}(\cot \Theta)\sin\theta \right]
$$となり、最後に$$
\cot^2\Theta = \frac{ \cos^2\Theta}{\sin^2\Theta} = \frac{1}{\rho^2-1} = -\frac{1+\cos\theta}{2 \cos\theta}
$$を代入して、$$
F_3(\theta)= F_2(\theta) + \frac{24}{\pi^2} \left[\cos^{-1}\left(-\frac{1+\cos\theta}{2 \cos\theta}\right) (1-\cos\theta) -2\cos^{-1}\left(\sqrt{-\frac{1+\cos\theta}{2 \cos\theta}}\right)\sin\theta \right] \\ (2\tan^{-1}\sqrt{2} < \theta \le 2\pi/3 )
$$が得られます。

点群 \(32, 422, 622\)

　点群 \(32, 422, 622\) については導出手順が共通なのでまとめて示します。これらの点群は主軸に \(n\) (最初の数字) 回軸とそれに直交する \(n\) 本の \(2\) 回軸を有する点群です。押し込まれる領域は正 \(2n\) 角形を底辺とする正 \(2n\) 角柱です。中心から底面までの距離は \(\tan(\pi/2n)\) であり、側面までの距離は \(1\) です。また、これらの群の多重度 (位数) は \(2n\) です。最初に区間分けの模式図を示します。

点群 \(32\) の各区間

点群 \(422\) の各区間

点群 \(622\) の各区間

第一、第二、第三区間

　第一区間は、全球が正 \(2n\) 角柱に含まれる場合です。これまでの議論と同様に$$
A_1(\rho) = 4\pi\rho^2\\
F_1(\theta) = \frac{2n}{\pi} (1-\cos\theta )
$$となります。第二区間は二枚の底面からのみ球面が飛び出す場合であり、点群 \(2, 3, 4, 6\) の導出と同様に$$
A_2(\rho)=A_1(\rho) -4\pi\rho\left(\rho-\tan\frac{\pi}{2n}\right) = 4\pi\rho\tan\frac{\pi}{2n}\\
F_2(\theta)=\frac{2n}{\pi}\sin\theta \tan\frac{\pi}{2n}
$$となります。第三区間は \(2n\) 枚の側面からも球面が飛び出す場合です。この区間の立体内球面積 \(A_3\) は$$
A_3(\rho)= A_2(\rho) -2n\times2\pi \rho (\rho-1) = -n A_1(\rho) +A_2(\rho) + 4n\pi\rho
$$となります。あとは \(4n\pi\rho\) の部分だけ注目して展開すれば、容易に$$
F_3(\theta)=-nF_1(\theta) +F_2(\theta) + \frac{2n^2}{\pi}\sin\theta$$が求まります。ここまでは簡単ですね。

第四区間

　最後の第四区間ではキャップ同士の重なりを考慮します。側面のキャップと底面のキャップのそれぞれの開き角を \(\Theta_1, \Theta_2\) とすると、$$
\cos\Theta_1= \frac{1}{\rho},\ \sin\Theta_1=\frac{\sqrt{\rho^2-1}}{\rho},\ \cos\Theta_2=\frac{\tan(\pi/2n)}{\rho},\ \sin\Theta_2=\frac{\sqrt{\rho^2-\tan^2(\pi/2n)}}{\rho}\
$$という関係が成立します。側面キャップと底面とのキャップは垂直な関係です。したがって、その重なり面積 \(S_1\) は (半径 \(\rho\) なので \(\rho^2\) を掛けることに注意)$$
S_1(\rho)=2\rho^2\left\{ \cos^{-1} (\cot \Theta_1 \cot \Theta_2)
-\cos\Theta_1 \cos^{-1}\left( \frac{\cos\Theta_2 }{\sin\Theta_1} \right)
-\cos\Theta_2 \cos^{-1} \left( \frac{\cos\Theta_1}{\sin\Theta_2} \right)\right\} \\
=2\rho^2 \cos^{-1} \left( \frac{\tan\frac{\pi}{2n}}{\sqrt{(\rho^2-1)(\rho^2 -\tan^2\frac{\pi}{2n})}} \right)
-2\rho \left\{ \cos^{-1}\left( \frac{\tan\frac{\pi}{2n}}{\sqrt{\rho^2-1}} \right)
+\tan\frac{\pi}{2n} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\rho^2 -\tan^2\frac{\pi}{2n}}} \right) \right\}
$$ となります。今後の展開を簡単にするため、$$S_1(\rho)= 2 \rho^2\, S_{11}(\rho) -2\rho\, S_{12}(\rho)$$という形にしておきます。次に側面同士のキャップ重なりです。これはキャップ間角度が \(\alpha=\pi/n\) で、開き角 \(\Theta= \Theta_1\) は同一なので、その重なり面積 \(S_2\) は$$
S_2(\rho)= 2\rho^2 \left\{ \cos^{-1} \left( \frac{\cos^2 \Theta -\cos\alpha}{\sin^2\Theta}\right)
-2\cos\Theta \cos^{-1}\left( \frac{1 -\cos\alpha}{\tan\Theta \sin\alpha} \right) \right\} \\
= 2\rho^2 \cos^{-1} \left( \frac{1 -\rho^2\cos\frac{\pi}{n}}{\rho^2-1}\right)
-4\rho \cos^{-1}\left( \frac{1 -\cos\frac{\pi}{n}}{\sqrt{\rho^2-1} \sin\frac{\pi}{n} } \right)
$$となります。こちらも$$S_2(\rho)= 2 \rho^2\, S_{21}(\rho) -2\rho\, S_{22}(\rho)$$としておきます。結局この区間における立体内球面積 \(A_4\) は、\(A_3\) に \(S_1\) を \(4n\) 個と \(S_2\) を \(2n\) 個だけ足せばよいので$$
A_4(\rho)= A_3(\rho) + 4n S_1(\rho) + 2n S_2(\rho) = A_3(\rho) + 4n \left[\rho^2 \left\{2S_{11}(\rho) + S_{21}(\rho) \right\}-\rho \left\{2S_{12}(\rho) + S_{22}(\rho) \right\} \right]
$$となり、したがって \(F_4(\theta)\) は$$
F_4(\theta) = F_3(\theta) + \frac{2n^2 }{\pi^2} \left[ (1-\cos\theta) \left\{ 2S_{11}(\theta) + S_{21}(\theta) \right\} – \sin\theta \left\{ 2S_{12}(\theta) + S_{22}(\theta) \right\} \right]
$$となります。ここで\(S_{11}(\theta),S_{12}(\theta),S_{21}(\theta),S_{22}(\theta)\)は$$
S_{11}(\theta) = \cos^{-1} \left( \frac{\tan\frac{\pi}{2n}}{\sqrt{(\rho^2-1)(\rho^2 -\tan^2\frac{\pi}{2n})}} \right), \quad
S_{12}(\theta) = \cos^{-1}\left( \frac{\tan\frac{\pi}{2n}}{\sqrt{\rho^2-1}} \right)
+\tan\frac{\pi}{2n} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\rho^2 -\tan^2\frac{\pi}{2n}}} \right) \\
S_{21}(\theta)=\cos^{-1} \left( \frac{1 -\rho^2\cos\frac{\pi}{n}}{\rho^2-1}\right), \quad
S_{22}(\theta)=2\cos^{-1}\left( \frac{1 -\cos\frac{\pi}{n}}{\sqrt{\rho^2-1} \sin\frac{\pi}{n} } \right)
$$であり、もちろん \(\rho(\theta) = \tan(\theta/2)\) です。

点群 \(222, 32, 422, 622\) の方位差分布グラフ

　各点群に対する各区間の範囲を以下にまとめます。

点群	第一区間	第二区間	第三区間	第四区間
\(222\)	\(\rho \le 1\) \(\theta \le \pi/2=90^\circ\)	\(1< \rho \le \sqrt{2}\) \(\pi/2=90^\circ < \theta \le 109.47^\circ\)	\(\sqrt{2} < \rho \le \sqrt{3}\) \(109.47^\circ< \theta \le 2\pi/3=120^\circ\)
\(32\)	\(\rho \le \sqrt{3}/3\) \(\theta \le \pi/3=60^\circ\)	\(\sqrt{3}/3 < \rho \le 1\) \(\pi/3=60^\circ < \theta \le \pi/2=90^\circ\)	\(1 < \rho \le 2\sqrt{3}/3\) \(\pi/2=90^\circ < \theta \le 98.21^\circ\)	\(2\sqrt{3}/3 < \rho \le \sqrt{5/3}\) \(98.21^\circ < \theta \le 104.48^\circ\)
\(422\)	\(\rho \le \sqrt{2}-1\) \(\theta \le \pi/4=45^\circ\)	\(\sqrt{2}-1 < \rho \le 1\) \(\pi/4=45^\circ < \theta \le \pi/2=90^\circ\)	\(1 < \rho \le \sqrt{4-2\sqrt{2}}\) \(\pi/2=90^\circ < \theta \le 94.53^\circ\)	\( \sqrt{4-2\sqrt{2}} < \rho \le \sqrt{7-4\sqrt{2}}\) \(94.53^\circ < \theta \le 98.42^\circ\)
\(622\)	\(\rho \le 2-\sqrt{3}\) \(\theta \le \pi/6=30^\circ\)	\(2-\sqrt{3} < \rho \le 1\) \(\pi/6=30^\circ < \theta \le \pi/2=90^\circ\)	\(1 < \rho \le \sqrt{6}-\sqrt{2}\) \(\pi/2=90^\circ < \theta \le 91.99^\circ\)	\(\sqrt{6}-\sqrt{2} < \rho \le \sqrt{15-8\sqrt{3}}\) \(91.99^\circ < \theta \le 93.84^\circ\)

方位差分布グラフは、以下に示します。全球が立体内に収まる範囲(第一区間)では急速に増加し、その後底面から球面が飛び出す (点群 \(32, 422, 622\) の第二区間) と増加は緩やかとなり、側面からも球面が飛び出す (点群 \(222\) の第二区間あるいは点群 \(32, 422, 622\) の第三区間) と急速な減少に転じ、最後にキャップ重なりが生じるようになる (点群 \(222\) の第三区間あるいは点群 \(32, 422, 622\) の第四区間) と減少は緩やかになりながら 0 に落ち込みます。

点群 \(23, 432\) の場合

　いよいよ最後は点群 \(23, 432\) です。

点群 \(23\)

　点群 \(23\) では、四方向の\(3\) 回回転軸がロドリゲス空間を正八面体形状に押し込みます。中心から各面までの距離は \(\sqrt{3}/3\) です。正八面体の頂点方向が \(2\) 回回転軸ですが形状には影響を与えません。多重度は12であり、方位密度は一様に12倍です。

第一、第二区間

　それではこれまでと同様の方針で解いていきましょう。第一区間は、全球が正八面体に含まれる場合です。これまでの議論と同様に$$
A_1(\rho) = 4\pi\rho^2\\
F_1(\theta) = \frac{12}{\pi} (1-\cos\theta )
$$です。第二区間は八枚の面から球面の一部が飛び出す場合であり、$$
A_2(\rho)=A_1(\rho) -8\times 2\pi\rho\left(\rho-\tan\frac{\pi}{6}\right) = -3A_1(\rho) +\frac{16}{\sqrt{3}}\pi\rho\\
F_2(\theta)= -3F_1(\theta) + \frac{48}{\sqrt{3}\pi} \sin\theta
$$となります。ここまでは簡単ですね。

第三区間

　第三区間はキャップの重なりを考慮します。開き角 \(\Theta\) が同一のケースであり、$$
\cos\Theta=\frac{1}{\sqrt{3}\rho},\ \sin\Theta=\frac{\sqrt{3\rho^2-1}}{\sqrt{3}\rho}
$$が成り立ちます。また正八面体の場合はキャップ間角度を \(\alpha\) として$$\cos\alpha=\frac{1}{3},\quad \sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ となりますので、重なり面積 \(S\) は$$
S(\rho)= 2\rho^2 \cos^{-1} \left( \frac{1 -\rho^2}{3\rho^2-1}\right)
-\frac{4\rho}{\sqrt{3}} \cos^{-1}\left( \frac{1}{ \sqrt{6\rho^2-2}} \right)
$$となります。正八面体には12の辺がありますので、$$
A_3(\rho)=A_2(\rho) +12S(\rho)=A_2(\rho) + 24\rho^2 \cos^{-1} \left( \frac{1 -\rho^2}{3\rho^2-1}\right)
-\frac{48\rho}{\sqrt{3}} \cos^{-1}\left( \frac{1}{ \sqrt{6\rho^2-2}} \right)
$$となり、最終的に$$
F_3(\theta)=F_2(\theta) + \frac{72}{\pi^2} \cos^{-1} \left( \frac{1 -\rho^2}{3\rho^2-1}\right) (1-\cos\theta) -\frac{144}{\sqrt{3}\pi^2} \cos^{-1}\left( \frac{1}{ \sqrt{6\rho^2-2}} \right) \sin\theta\\
=F_2(\theta) + \frac{72}{\pi^2}
\left\{ \cos^{-1} \left( \frac{1 -\tan^2\frac{\theta}{2}}{3\tan^2\frac{\theta}{2}-1}\right) (1-\cos\theta) -\frac{2}{\sqrt{3}} \cos^{-1}\left( \frac{1}{ \sqrt{6\tan^2\frac{\theta}{2}-2}} \right) \sin\theta \right\}
$$と求まります。

点群 \(432\)

　最後は点群 \(432\) です。押し込まれる領域は立方体の各頂点を切り落としたような形状⁵で、正八角形と正三角形に囲まれた立体です。正八角形は三方向の \(4\) 回回転軸に由来しており、中心からの距離は \(\sqrt{2}-1\) です。多重度は24であり、方位密度は一様に24倍です。

第一、第二、第三区間

　第一区間は、全球が立体内部に含まれる場合です。これまでの議論と同様に$$
A_1(\rho) = 4\pi\rho^2\\
F_1(\theta) = \frac{24}{\pi} (1-\cos\theta )
$$です。第二区間は正八角形の面(6枚)から球面の一部が飛び出す場合であり、$$
A_2(\rho)=A_1(\rho) -6\times 2\pi\rho\left(\rho-\tan\frac{\pi}{8}\right) = -2A_1(\rho) +12(\sqrt{2}-1)\pi\rho\\
F_2(\theta)= -2F_1(\theta) + \frac{72(\sqrt{2}-1)}{\pi} \sin\theta
$$となります。第三区間は八面体を構成する面から飛び出すので、点群 \(23\) の第二区間を参考にして、$$
A_3(\rho)=A_2(\rho)-8\times 2\pi\rho\left(\rho-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =- 4A_1(\rho)+ A_2(\rho) +\frac{16}{\sqrt{3}}\pi\rho\\
F_3(\theta)= -4F_1(\theta) + F_2(\theta) + \frac{96}{\sqrt{3}\pi} \sin\theta
$$となります。

第四区間

　第四区間は、正八面体が作る面から飛び出たキャップと正六面体が作る面から飛び出たキャップの重なりです。両者の開き角を\(\Theta_1, \Theta_2\) とすると、$$
\cos\Theta_1=\frac{1}{\sqrt{3}\rho},\quad
\sin\Theta_1=\frac{\sqrt{3\rho^2-1}}{\sqrt{3}\rho},\quad
\cos\Theta_2=\frac{\sqrt{2}-1}{\rho},\quad
\sin\Theta_2=\frac{\sqrt{\rho^2 -3+2\sqrt{2}}}{\rho}
$$という関係になります。またキャップのなす角を \(\alpha\) とすると$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ となります。このキャップの重なり面積 \(S\) は、$$
S(\rho)
=2\rho^2 \cos^{-1}\left[ \frac{\sqrt{2}-1-\rho^2}{\sqrt{3\rho^2-1}\sqrt{\rho^2 -3+2\sqrt{2}} }\right]
-2\rho \left\{ \frac{1}{\sqrt{3}} \cos^{-1}\left[\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{3\rho^2-1}} \right]
+(\sqrt{2}-1) \cos^{-1} \left[\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{\rho^2 -3+2\sqrt{2}}} \right] \right\}
$$となります。このキャップ重なりは合計24個あるので、面積 \(A_4\)は$$
A_4(\rho) = A_3(\rho) +24 S(\rho)
$$となり、最終的にこの区間の \(F_4(\theta)\) は$$\begin{array}{l}
F_4(\theta) = F_3(\theta) +\Large{\frac{96}{\pi^2}}\\
\qquad \times \left\{
3(1-\cos\theta) \cos^{-1}\left[ \frac{\sqrt{2}-1-\rho^2}{\sqrt{3\rho^2-1}\sqrt{\rho^2 -3+2\sqrt{2}} }\right]
-\sqrt{3}\sin\theta \cos^{-1}\left[\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{3\rho^2-1}} \right]
-3(\sqrt{2}-1)\sin\theta \cos^{-1} \left[\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{\rho^2 -3+2\sqrt{2}}} \right]
\right\}\end{array}
$$となります。もちろん \(\rho(\theta) = \tan(\theta/2)\) です。

点群 \(23, 432\) の方位差分布グラフ

　各区間の範囲およ方位差分布グラフを以下にまとめます。

点群	第一区間	第二区間	第三区間	第四区間
\(23\)	\(\rho \le \sqrt{3}/3\) \(\theta \le \pi/3=60^\circ\)	\(\sqrt{3}/3 < \rho \le \sqrt{2}/2\) \(\pi/3=60^\circ < \theta \le 70.53^\circ\)	\(\sqrt{2}/2 < \rho \le 1\) \(70.53^\circ < \theta \le \pi/2=90^\circ\)
\(432\)	\(\rho \le \sqrt{2}-1\) \(\theta \le \pi/4=45^\circ\)	\(\sqrt{2}-1 < \rho \le \sqrt{3}/3\) \(\pi/4=45^\circ < \theta \le \pi/3=60^\circ\)	\(\sqrt{3}/3 < \rho \le 2-\sqrt{2}\) \(\pi/3=60^\circ < \theta \le 60.72^\circ\)	\(2-\sqrt{2} < \rho \le \sqrt{23-16\sqrt{2}}\) \(60.72^\circ < \theta \le 62.80^\circ\)

---

1. Mathematicaで、以下のコマンド
   n = 1;
   f[[Theta]_] := Piecewise[{{(n/Pi) (1 – Cos[[Theta]]), [Theta] <= Pi/n}, {(n/Pi) Sin[[Theta]] Tan[Pi/(2 n)], Pi/n < [Theta] <= Pi}}];
   tickStyle = 16;
   xticks = Table[{k Pi/12, Style[If[k == 0, 0, TraditionalForm[k Pi/12]], tickStyle]}, {k, 0, 12}];
   yticks = Table[{y, Style[TraditionalForm[y], tickStyle]}, {y, 0, 1, 0.1}];
   g = Plot[f[[Theta]], {[Theta], 0, Pi}, PlotRange -> {0, 2/Pi}, Ticks -> {xticks, yticks}, AxesLabel -> (Style[#, 18] & /@ {“[Theta]”, “F([Theta])”}), PlotLabel -> Style[Row[{“F([Theta]) (n = “, n, “)”}], 20], PlotPoints -> 2000, MaxRecursion -> 2,
   GridLines -> {Range[0, Pi, Pi/12], Automatic}, ImageSize -> Large];
   g
   CopyToClipboard[g] ↩︎
2. Mathematicaで、以下のコマンド
   r = 0.8; a = 1; L = 1.3;
   sphere = ParametricPlot3D[r {Sin[th] Cos[ph], Sin[th] Sin[ph], Cos[th]}, {th, 0, Pi}, {ph, 0, 2 Pi}, Mesh -> None, PlotPoints -> 600, MaxRecursion -> 4, PerformanceGoal -> “Quality”, ColorFunctionScaling -> False, ColorFunction ->
   Function[{x, y, z, th, ph}, If[Abs[x] > a, Blue, Red]]];
   planePos = Graphics3D[{Directive[Green, Opacity[0.35]], Polygon[{{a, -r2, -r2}, {a, r2, -r2}, {a, r2, r2}, {a, -r2, r2}}]}];
   planeNeg = Graphics3D[{Directive[Green, Opacity[0.35]], Polygon[{{-a, -r2, -r2}, {-a, r2, -r2}, {-a, r2, r2}, {-a, -r2, r2}}]}];
   g = Show[sphere, planePos, planeNeg, PlotRange -> {{-L, L}, {-L, L}, {-L, L}}, PlotRangeClipping -> True, BoxRatios -> {1, 1, 1}, Boxed -> False, Axes -> True, AxesLabel -> {Style[“X”, FontFamily -> “Times”, FontSlant -> Italic, FontSize -> 16], Style[“Y”, FontFamily -> “Times”, FontSlant -> Italic, FontSize -> 16], Style[“Z”, FontFamily -> “Times”, FontSlant -> Italic, FontSize -> 16]}, LabelStyle -> Directive[FontFamily -> “Times”, 16], Lighting -> “Neutral”, ImageSize -> 600];
   CopyToClipboard[g] ↩︎
3. 何度も出てくるので、整理して書いておくと、$$ \begin{array}{l}
   \frac{1}{1+\rho^2} = \frac{1}{1+\tan^2(\theta/2)}=\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos\theta}{2}\\
   \frac{\rho}{1+\rho^2} = \frac{\tan(\theta/2)}{1+\tan^2(\theta/2)}= \frac{\sin\theta}{2}\\
   \frac{\rho^2}{1+\rho^2} = \frac{\tan^2(\theta/2)}{1+\tan^2(\theta/2)}= \sin^2(\theta/2) =\frac{1-\cos\theta}{2}\\
   \frac{1}{1-\rho^2} = \frac{1}{1-\tan^2(\theta/2)}= \frac{1+\cos\theta}{2\cos\theta}\\
   \frac{\rho}{1-\rho^2} = \frac{\tan(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)}= \frac{\tan\theta}{2}\\
   \frac{\rho^2}{1-\rho^2} = \frac{\tan^2(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)}=\frac{1-\cos\theta}{2\cos\theta}
   \end{array}$$ ↩︎
4. Mathematicaで、以下のコマンド
   r = 1.5;
   sphere = ParametricPlot3D[ r {Sin[th] Cos[ph], Sin[th] Sin[ph], Cos[th]}, {th, 0, Pi}, {ph, 0, 2 Pi}, Mesh -> None, ColorFunction -> Function[{x, y, z, th, ph}, With[{v = Abs[{x, y, z}]}, Which[Max[v] < 1, Red, Sort[v][[-2]] > 1, Yellow, True, Blue]]], ColorFunctionScaling -> False, PlotPoints -> {1280, 1280}, MaxRecursion -> 2, PerformanceGoal -> “Quality”, PlotRange -> All];
   cube = Graphics3D[{FaceForm[Directive[Green, Opacity[0.15]]], EdgeForm[{Thick, Green}], Cuboid[{-1, -1, -1}, {1, 1, 1}]}];
   Show[sphere, cube, PlotRange -> All, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 400]
   ↩︎
5. このような形状を切頂六面体ということもあります。 ↩︎