（書きかけです。完成まで今しばらくお待ちください）
space groupを学び始めた段階で、多くの人が最初につまずくのは、International Tables for Crystallography, Volume A (below ITA) に載っている図の読み方でしょう。Hermann–Mauguin 記号だけではspace groupの全体像は見えませんが、図を読めるようになると、symmetry elementが単位格子のどこにあり、それらがgeneral positionをどのように写し合うのかが一目で分かるようになります。International Tables のspace groupページには、通常、general position図 (general-position diagram) と symmetry element図 (symmetry-elements diagram) の二種類の図が並んでおり、前者はgeneral positionのequivalent positionsの配置を、後者はsymmetry elementの位置と向きを表しています。
このページでは、International Tables の図を読む際に最低限必要となる考え方を整理します。個々の記号そのものの意味は、前ページ「3.1. symmetry elementのdetails」で説明しましたので、ここでは「それらの記号が図の中でどう配置され、どう読まれるか」に重点を置きます。
まず、space groupページのどこを見るか
International Tables のspace groupページには多くの情報が並んでいますが、初学者はまず次の四箇所だけ見れば十分です。
1つ目は、ページ上部にある space group記号とspace group番号 です。ここで、そのページがどのspace groupを扱っているかが分かります。
2つ目は、general position図 と symmetry element図 です。space groupの幾何学的な中身は、ほとんどこの二つの図に凝縮されています。
3つ目は、general positionおよびspecial positionの座標表 です。ここには、等価位置の座標、ワイコフ文字、multiplicity、site symmetryが一覧されています。
4つ目は、Origin や Asymmetric unit に関する記述です。原点がどこに置かれているか、非対称単位をどこでとるかによって、図の見え方や座標表の書き方が決まるからです。
慣れてくると、まず図を眺めてsymmetry elementの配置をつかみ、次に座標表を見てgeneral positionとspecial positionの関係を確認する、という順序で読むのが速くなります。
general position図とは
general position図とは、対称性を全く持たない任意の一点 を単位格子中に置いたとき、その点がspace groupの全symmetry operationによってどこへ写るかを図示したものです。言い換えれば、general positionFigure:「ある一般点から生成されるequivalent positionsの並び方」を示しています。IUCr の解説でも、general positionFigure:、同一座標系のもとで対称的に等価な一般点の配置を示す図として説明されています。
たとえばgeneral positionの座標表に$$
(x,y,z),quad (-x, y+frac{1}{2}, -z+frac{1}{2}), cdots
$$のような式が並んでいれば、general position図には、それらの点が単位格子内のどこに現れるかが描かれています。図中の各点は、単なる「点」ではなく、座標表の各行に対応する等価位置の代表です。Therefore,、図と座標表は別物ではなく、同じ情報を図と式で二重に表していると考えると理解しやすいです。
また、general position図で最初に出てくる位置は、通常、座標表の General の行に対応しています。そこで書かれているmultiplicityは、単位格子内に現れるequivalent positionsの数です。site symmetryが 1 であることは、その点がどの非自明なsymmetry elementの上にも乗っていない、という意味です。逆に、mirror planeやrotation axisなどの上に点を置くと、生成されるequivalent positionsの数は減り、その点はspecial positionになります。
symmetry element図とは
symmetry elementFigure:、単位格子の中に どのsymmetry elementが、どこに、どの向きで存在するか を描いたものです。IUCr の図示法ガイドでも、symmetry elementFigure:、symmetry elementの相対的位置関係だけでなく、採用された座標系に対する絶対的位置と向きも示す図として説明されています。
space group記号に書かれているsymmetry elementは、あくまでそのspace groupを特徴づける代表的なものだけです。実際のspace groupには、それらの組合せから自動的に生じる“冗長な”symmetry elementも多数含まれます。Therefore,、symmetry element図を見ると、記号の中には直接書かれていないmirror plane、screw axis、centre of symmetryなどが現れることがあります。これは誤りではなく、むしろspace groupの全体像を正しく反映したものです。IUCr の教育用解説でも、たとえば Pnma の図をEx.に、space group記号に明示されていないsymmetry elementが図には現れることが説明されています。
前ページで学んだように、rotation axis、screw axis、mirror plane、映進面、centre of symmetryにはそれぞれ固有の図記号があります。International Tables の図では、これらが「線の種類」「多角形の形」「矢印の有無」などによって描き分けられています。Therefore,、図を読むときは、まず個々の記号の意味を知っていること、次にその記号が単位格子のどこに置かれているかを見ること、この二段階が大切です。
Figure:「投影図」
International Tables の三次元space groupのFigure:、三次元の単位格子を二次元の紙面に射影したものです。そのため、図を見るときには「どちらの方向から見ている図なのか」を必ず意識する必要があります。IUCr の解説では、たとえば Pnma の図 、紙面に向かって zzz 方向から投影し、紙面の水平方向が yyy、鉛直方向が xxx になるように描かれていることが説明されています。つまり、図の左右上下はそのまま a,b,c 軸に対応するとは限らず、そのページで採用されている投影方向に従って読み替えなければなりません。
このことは特に、monoclinic crystal systemや直方晶系の設定違いを扱うときに重要です。設定が変われば、同じspace groupタイプでも、どの軸が紙面内で横向きになるか、どの軸が紙面外になるかが変わります。Therefore,、図の形だけを見て判断するのではなく、図に添えられた軸ラベルや設定の注記を必ず確認する必要があります。International Tables のガイドでも、単斜・直方晶系では複数の設定や投影の取り扱いが説明されています。
紙面内の位置と、紙面外の「高さ」
投影図では、紙面内の二次元座標だけでは情報が足りません。そこで International Tables では、紙面に垂直な方向の位置、i.e.,“高さ”を補助記号で表します。
symmetry element図では、mirror planeや映進面などに分数が添えられていることがあります。これは、そのsymmetry elementが紙面からどれだけ離れた位置にあるかを示すものです。IUCr の図記号の説明によれば、たとえば分数 h が添えられていれば、その記号は、投影方向に関して高さ h と h+21 の二つの位置にあるsymmetry elementを表します。また、分数が付いていない場合は、通常 0 と 21 の位置にあるものとして扱われます。
general position図の点 も、紙面の上か下か、あるいはどの高さにあるかを補助記号で表します。IUCr の対称性解説では、記号 + と − が、それぞれ紙面より上側・下側の等距離の位置を表すことが示されています。Therefore,、general position図を見るときは、点の平面内位置だけでなく、その点に付いた補助記号も含めて一つの情報として読む必要があります。
general position図とsymmetry elementFigure:、必ず対応している
この二つのFigure:、別々の情報を並べているのではありません。symmetry element図に描かれた各symmetry elementが、general position図の点をどのように写し合うかを表している、という意味で、両者は完全に対応しています。たとえばmirror planeがあれば、general position図の点はそのmirror planeに関して反対側に対応点を持ちます。映進面なら、鏡映に加えて並進が加わるため、反対側に移るだけでなく、さらに一定量だけずれた位置にequivalent positionsが現れます。screw axisであれば、回転だけでなく軸方向の並進も伴うため、紙面上では回転対応に見えても、実際には高さも変化しています。
Therefore,、space groupの図を読む練習として最も有効なのは、symmetry element図を見て、general position図のどの点がどの操作で対応するかを一つずつ追うことです。慣れるまでは、general position図だけ、あるいはsymmetry element図だけを眺めても理解しにくいのですが、両者を往復して見ると、symmetry operationの意味が急に具体的になります。
座標表との対応
図だけでなく、座標表も同時に見ると理解が深まります。general positionの欄には、multiplicity、ワイコフ文字、site symmetry、そして具体的な等価座標が並んでいます。たとえば「8d1」のように書かれていれば、それは「multiplicity 8 のgeneral position、ワイコフ文字 d、site symmetry 1」を意味します。IUCr の教育用解説でも、general positionにある原子は、そのmultiplicityの数だけ単位格子中に等価な原子を持つこと、special positionに移るとその数が減ることが説明されています。
special positionは、ある点がmirror plane、rotation axis、centre of symmetryなどの上にあるために、あるsymmetry operationで自分自身に重なる位置です。そのため、general positionよりもmultiplicityが小さくなり、site symmetryは m, 2, 1ˉ などの非自明な記号になります。つまり、general positionFigure:「何もsymmetry elementに乗っていない点」を基準にした図であり、special position表は「symmetry elementの上に乗った場合」を数式で整理したものと理解できます。