Seto's Page

　いきなり群の議論に入る前に、まずはsymmetry operationを表現するためのアフィン変換およびユークリッド変換という概念を理解しておきましょう。さらに後半では省スペースでsymmetry operationを表現するためにSeitz notationの表記を説明します。

アフィン変換

　ある三次元座標 (X=begin{pmatrix}xyzend{pmatrix}) を、3×3行列 (R=begin{pmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13}
R_{21} & R_{22} & R_{23}
R_{31} & R_{32} & R_{33}
end{pmatrix}) で変換し、その後 (t=begin{pmatrix}t_xt_yt_zend{pmatrix}) だけ平行移動して、 (X’=begin{pmatrix}x’y’z’end{pmatrix}) に写すという操作は次のように行列のかけ算と足し算で表現することが出来ます。
$$X’ = R X + t
$$アフィン変換行列はこのような操作を一回の行列のかけ算だけで表現することができます。3次元であれば、ダミーの次元を一つ加えてbelowのような4行4列の行列で表現します。
$$A = begin{pmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} & t_x
R_{21} & R_{22} & R_{23} & t_y
R_{31} & R_{32} & R_{33} & t_z
0 & 0 & 0 & 1
end{pmatrix}= begin{pmatrix}
begin{matrix} large{R} end{matrix} & begin{matrix} large{t} end{matrix}
begin{matrix}0&0&0end{matrix} & 1
end{pmatrix}
$$アフィン変換行列 (A) の最終行 (4行目) は常に (0,0,0,1) です。(R) で示した3行3列の部分は、回転、変形、拡大縮小の作用を及ぼし、(t) で示した3行1列の部分は平行移動の作用を及ぼします。変換対象となる座標 ((x, y,z)) にもダミーの次元を一つ加え、最後の成分は (1) として、belowのような変換を施します。
$$A begin{pmatrix}xyz1end{pmatrix} =
begin{pmatrix}
R_{11}x+R_{12}y+R_{13}z+t_x
R_{21}x+R_{22}y+R_{23}z+t_y
R_{31}x+R_{32}y+R_{33}z+t_z
1end{pmatrix} =
begin{pmatrix} R begin{pmatrix}xyzend{pmatrix} + t 1 end{pmatrix}
$$変換後のベクトルの前半3つの成分は変換後の座標に対応し、最後の成分は必ず (1) になります。アフィン変換は、次元が1つ増えてわずかに計算量が増えるというデメリットはあるものの、回転、変形、拡大縮小だけでなく平行移動も1回の行列乗算で計算できてしまうという大きなメリットがあります。

　Ex.えば、
$$A = begin{pmatrix}
cos(pi/3) & -sin(pi/3) & 0 & 1/4
sin(pi/3) & cos(pi/3) & 0 & 1/2
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1
end{pmatrix}
$$というアフィン変換は、Z軸の周りに (pi/3) だけ回転して、さらにX軸方向とY軸方向にそれぞれ1/4と1/2だけ平行移動するという変換を意味しています。便利ですね。

　アフィン変換はcrystal学に限らず非常に幅広い分野で使われており、特にコンピュータグラフィクス分野では必須の手法です。

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ユークリッド変換 (symmetry operation)

　さて、crystal学における「symmetry operation」というのもアフィン変換の一種です。where、その操作によって体積が変わったり変形したりしてはいけません。原子のサイズが変わってしまったら大変ですよね。体積や変形を伴わないということは、アフィン変換によって写る任意の二点のユークリッド距離が変化しないということと等価です。アフィン変換 (A) がユークリッド距離を保存するための条件は、(A) 行列の最終行と最終列を除いた部分行列 (R) が直交行列であること、i.e.,$$
R R^{mathrm{T}} = R^{mathrm{T}} R =I
$$です。ここで、(R^{mathrm{T}}) は (R) の転置を表し、 (I) は単位行列です。 この条件によってアフィン変換 (A) が距離・角度・体積を変えない変換であることが保証されます。where、向きは変わるかもしれません。直交行列 (R) の行列式 (det R) は かならず (pm1) なのですが、(det R=1) ならば右手は右手のまま、(det R=-1) ならば左手に変換されます。行列式や直交行列の意味 は、別のページでdetailsに解説します。

　以上の様な二点間の距離を保つアフィン変換のことをユークリッド変換 (Euclidean transformation) といいます。crystal学におけるsymmetry operationのmatrix representationに対応します。

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symmetry operationの分類

　3次元のユークリッド変換 (i.e.,symmetry operation) は自由度、向きの保存、並進性の観点からbelowのように分類することが出来ます。

変換の種類	Degrees of freedom (自由度)	Preserves orientation? (向きを保存するか?)	Translations? (並進を伴うか?)
Identity (identity operation)	0	Yes	No
Inversion (centre of symmetry)	3	No	No
Reflection (鏡映)	3	No	No
Rotation (回転)	5	Yes	No
Rotoinversion (回反)	6	No	No
Translation (単純並進)	3	Yes	Yes
Screw (らせん)	6	Yes	Yes
Glide (映進)	5	No	Yes

　自由度というのは、何個のパラメータを与えたらその変換が一意に決まるか、という数です。Ex.えばidentity operationは、要するに4行4列の単位行列であり行列成分を1つもいじることは出来ません。自由度ゼロです。回転の場合は、rotation axisの方向を指定するのに2つ、空間中の位置を指定するために2つ、回転量の指定に1つ、合計5つの自由度があります。映進の場合は面の法線方向を指定するのに2つ、原点から面までの距離で1つ、並進の方向と量で1つずつ、合計5つです。

　表中の上の五つの操作は、並進を伴いません。繰り返し作用させればいつかは元の場所に戻ってきます。このような操作を組み合わせて群を作ったものが「point group」です。下の三つの操作は並進を伴います。これらを全部混ぜて組み合わせると「space group」が出来上がります。組み合わせ方なんて無限にありそうなものなのですが、3次元のspace groupはわずか230個だけです。いい加減な組み合わせ方をすると群の要件を満たさなくなってしまうんですね。

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ザイツ記号

　4行4列の行列で表現するアフィン変換の表現は、計算のdetailsが把握しやすい一方で、記述する際にはたくさんのスペースを消費してしまいます。省スペースでsymmetry operationを表現したいときは、ザイツ記法 (Seitz notation, Seitz symbol) とよばれる表現が便利です。この記法では、symmetry operationをbelowのように表現します。

$$ {R|t}
$$(R) は線形操作に対応し、(t) は並進操作に対応します。この記法にはいくつか流儀があるのですが、ここではITAで採用されている流儀 (Table 1.4.2.1-3)を説明します。(R) には、原点を不動とするrotation operationあるいはrotoinversion operationに加えて、下付き文字で軸の方向を、上付き文字で回転方向の符号を記入します。whereidentity operation ((1))、centre of symmetry ((bar{1}))、2回回転 ((2))およびreflection operation ((m))の場合は回転方向は不要です。Ex.えば、 (bar{3}^+_{111}) という記号の意味は、([111]) 軸方向に (+) 方向 (右ネジ方向)で3回rotoinversion operation (120度回転しcentre of symmetry)するということです。行列で示すと$$
bar{3}^+_{111}=begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 end{pmatrix}
$$ということになります。(t) は3方向の並進量をカンマで結んで (frac{1}{2}, frac{1}{2},0) のように表現します。where、並進量が全て0の場合は単に(0)とします。Ex.えば、({ bar{3}^+_{111} | frac{1}{2}, frac{1}{2},0 }) というザイツ記号を4行4列アフィン行列で表現すると、belowのようになります。$$
textstyle { bar{3}^+_{111} | frac{1}{2}, frac{1}{2},0 } = begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & frac{1}{2} -1 & 0 & 0 & frac{1}{2} 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$$

　Note:ザイツ記号は、単位lattice vectorを基底とする空間 (i.e.,分率座標空間)に対して使用します。当然軸の方向や並進量も単位lattice vector ((a, b, c))を基準とした倍数で表されていることにご注意ください。

　belowに、3次元のcrystalで許されるザイツ記号の (R)の表記の全てを表にまとめました。

三斜・単斜・直方・正方・cubic crystal systemの場合

trigonal crystal system (六方格子設定, Hexagonal setting) とhexagonal crystal systemの場合

trigonal crystal system (菱面格子設定, Rhombohedral setting)

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行列とザイツ記号によるsymmetry operationの表現

全てのsymmetry operationはアフィン変換(ユークリッド変換)で表現することが出来ます。変換対象が単位lattice vectorを規定とする空間あれば、ザイツ記号で表現することもできます。belowに具体Ex.を示します。

Reflection (鏡映)

Rotation (回転)

一般にrotation axisが原点を通り、単位ベクトル((x,y,z))と平行で、回転角が(theta)のrotation operationの一般表現は次のようになります。
$$begin{pmatrix}
x^2(1-costheta) +costheta & x y(1-costheta) – zsintheta & z x (1-costheta) +y sintheta &0
x y (1-costheta) +z sintheta& y^2 (1-costheta) +costheta& y z (1-costheta) -x sintheta &0
z x (1-costheta) -y sintheta& y z (1-costheta) + x sintheta& z^2 (1-costheta) +costheta &0
0&0&0&1
end{pmatrix}$$

Rotoinversion (回反)

Translation (単純並進)

(X, Y, Z)軸に(u, v, w)だけ平行移動する単純並進操作
$$begin{pmatrix}
1&0&0&u
0&1&0&v
0&0&1&w
0&0&0&1
end{pmatrix}
={1|u,v,w}$$

Screw (らせん)

Glide (映進)

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Footnotes

1. 基底を、六方格子設定の単位lattice vectorではなく、直交座標系(デカルト座標系)とすれば、$$begin{pmatrix}
   frac{1}{2}&frac{sqrt{3}}{2}&0&0
   -frac{sqrt{3}}{2}&frac{1}{2}&0&0
   0&0&-1&0
   0&0&0&1
   end{pmatrix}$$というmatrix representationになります。 ↩︎
2. 基底を、六方格子設定の単位lattice vectorではなく、直交座標系(デカルト座標系)とすれば、$$begin{pmatrix}
   frac{1}{2}&-frac{sqrt{3}}{2}&0&0
   frac{sqrt{3}}{2}&frac{1}{2}&0&0
   0&0&1&frac{1}{3}
   0&0&0&1
   end{pmatrix}$$というmatrix representationになります。 ↩︎