point groupは無数に存在します。Ex.えばrotation operationを元に含むようなpoint groupであれば、回転角度を適当に変えることでいくらでも新しいものを作り出すことが出来ます。ところが、対象をcrystalに限定した場合、回転角度は自由に設定することは出来ません。crystalは単位格子並進によって空間を埋め尽くす必要があるため、許される回転(回反)角度は、0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300°のいずれかであることが要請されます。この要請は、「回転あるいは回反の次数は 1, 2, 3, 4, 6 に限定される」という表現と等価です。次数が 1, 2, 3, 4, 6 の回転あるいはrotoinversion operation1 crystal族point group といいます2
belowに32種類のcrystal族point groupの表記をcrystal系 (Crystal system) ごとに紹介します。
Sch.: Schoenfliesの記法に従ったpoint groupあるいはspace group表記
HM (short): Hermann–Mauguinの記法に従ったpoint groupあるいはspace group表記の省略形
HM (full): Hermann–Mauguinの記法に従ったpoint groupあるいはspace group表記の完全形
Sch.
HM (short)
HM (full)
(C_1)
(1)
(1)
(C_i)
(bar{1})
(bar{1})
Sch.
HM (short)
HM (full)
(C_2)
(2)
(2)
(C_s)
(m)
(m)
(C_{2h})
(2/m)
(2/m)
Sch.
HM (short)
HM (full)
(D_2)
(222)
(2 2 2)
(C_{2v})
(mm2)
(m m 2)
(D_2h)
(mmm)
(2/m 2/m 2/m)
Sch.
HM (short)
HM (full)
(C_4)
(4)
(4)
(S_4)
(bar{4})
(bar{4})
(C_{4h})
(4/m)
(4/m)
(D_4)
(422)
(4 2 2)
(C_{4v})
(4mm)
(4 m m)
(D_{2d})
(bar{4}2m)
(bar{4} 2 m)
(D_{4h})
(4/mmm)
(4/m 2/m 2/m)
Sch.
HM (short)
HM (full)
(C_3)
(3)
(3)
(C_{3i})
(bar{3})
(bar{3})
(D_3)
(32)
(3 2)
(C_{3v})
(3m)
(3 m)
(D_{3d})
(bar{3}m)
(bar{3} 2/m)
Sch.
HM (short)
HM (full)
(C_6)
(6)
(6)
(C_{3h})
(bar{6})
(bar{6})
(C_{6h})
(6/m)
(6/m)
(D_{6})
(622)
(6 2 2)
(C_{6v})
(6mm)
(6 m m)
(D_{3h})
(bar{6}m2)
(bar{6} m 2)
(D_{6h})
(6/mmm)
(6/m m m)
Sch.
HM (short)
HM (full)
(T)
(23)
(2 3)
(T_h)
(mbar{3})
(2/m bar{3})
(O)
(432)
(4 3 2)
(T_d)
(bar{4}3m)
(bar{4} 3 m)
(O_h)
(mbar{3}m)
(4/m bar{3} 2/m)
belowに、32種類のcrystal族point group 、subgroup・超群の関係を示します。
すべてのcrystal族point groupの中でpoint group (1) は最下部に位置し、その位数は1です。単位行列だけからなるpoint groupです。一方、cubic crystal system (cubic) に属するpoint group (mbar{3}m) は最も対称性の高いpoint groupであり、その位数は48です。where、point group (mbar{3}m) がすべてのpoint groupの超群になるというわけではありません。point group (6/mmm) を局所的な頂点とするhexagonal crystal system (hexagonal) のpoint groupたちは、どのようなsymmetry operationを加えたり減らしたりしても直接cubic crystal systemのpoint groupたちへたどり着けません。cubic crystal systemに属するpoint groupとhexagonal crystal systemに属するpoint groupとの間には、超群/subgroupの関係はない のです。一方、trigonal crystal system (trigonal) は、cubic crystal systemとhexagonal crystal systemのどちらのsubgroupにもなり得ます。このあたりの事情は、「6.1. Topics in Trigonal/Hexagonal Crystal Systems 」の解説をご覧ください。below、図中の用語解説です。
order k of groups: 位数、i.e.,群が含む元(操作)の数です。一般点が写される数と考えてもよいです。
normal subgroup: 正規subgroupのことです。線が2本あるいは3本の場合は、方向の異なるsubgroupが2つあるいは3つ存在するということを意味します。Ex.えばpoint group (222) からは、3つの異なる方向のsubgroup(where記号としてはすべてpoint group (2)) を取り出すことができます。
conjugate subgroup: 共役subgroupのことです。共役というくらいですから当然共役な関係にある複数のsubgroup(where記号は同じ)が存在します。Ex.えばpoint group (32) の共役subgroupは 3つの異なる方向のpoint group(2)です。
Maximal subgroup: 極大subgroupといいます。自分自身を除いて元の数が極大になるようなsubgroupのことです。複数存在することがあります。たとえばpoint group(6) の極大subgroupはpoint group(3) とpoint group(2) です。詳しい説明は「2.4. Subgroups and Cosets 」をご覧ください。
point group (4/m) の 8 個のsymmetry operationを元とする群です。symmetry operationをザイツ記号 で表現してmultiplication table を書き下すとbelowのようになります。
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(1)
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(2_{001})
(2_{001})
(1)
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(4^+_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(1)
(2_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(m_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(1)
(2_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(2_{001})
(1)
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(1)
(2_{001})
上のmultiplication tableから、群としての要件を満たしつつ、なるべく多くの元を選んでみましょう。まず、belowのように赤く囲った操作(元)を選び出して作られる群が、point group (4)です。
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(1)
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(2_{001})
(2_{001})
(1)
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(4^+_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(1)
(2_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(m_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(1)
(2_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(2_{001})
(1)
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(1)
(2_{001})
belowのように赤く囲った操作(元)を選び出して作られる群が、point group (bar{4})です。
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(1)
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(2_{001})
(2_{001})
(1)
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(4^+_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(1)
(2_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(m_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(1)
(2_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(2_{001})
(1)
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(1)
(2_{001})
belowのように赤く囲った操作(元)を選び出して作られる群が、point group (2/m)です。
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(1)
(1)
(2_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(2_{001})
(2_{001})
(1)
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(4^+_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(1)
(2_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(m_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(1)
(2_{001})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(bar{1})
(bar{1})
(m_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(2_{001})
(1)
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^-_{001})
(m_{001})
(bar{1})
(4^-_{001})
(4^+_{001})
(2_{001})
(1)
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^-_{001})
(bar{4}^+_{001})
(bar{1})
(m_{001})
(4^+_{001})
(4^-_{001})
(1)
(2_{001})
Note:、(4/m) にとって(4, bar{4}, 2/m) は全て正規subgroupですからfactor group をつくることができます。(4/m) に対して、(4) を法としたfactor groupは (m) となり、(bar{4}) を法としたfactor groupは (bar{1}) となり、(2/m) を法としたfactor groupは (2) となります。
point group (2 2 2) の構造はbelowのようなmultiplication tableで表現できます。
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(2_{100})
(2_{100})
(1)
(2_{001})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(2_{100})
(2_{001})
(2_{001})
(2_{010})
(2_{100})
(1)
上のmultiplication tableから群としての要件を満たすようにsubgroupを選び出すやり方には、belowの三通りがあります。
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(2_{100})
(2_{100})
(1)
(2_{001})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(2_{100})
(2_{001})
(2_{001})
(2_{010})
(2_{100})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(2_{100})
(2_{100})
(1)
(2_{001})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(2_{100})
(2_{001})
(2_{001})
(2_{010})
(2_{100})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(1)
(2_{100})
(2_{010})
(2_{001})
(2_{100})
(2_{100})
(1)
(2_{001})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{010})
(2_{001})
(1)
(2_{100})
(2_{001})
(2_{001})
(2_{010})
(2_{100})
(1)
これらは全て表記としては 「point group (2) 」なのですが、2回rotation axisの方向は異なります。つまり、(222)の極大subgroupは方位の異なる三つの (2) であり、これらはすべて正規subgroupです。このページで最初に示した図では、このような状況が3本の線で表現されています。
Footnotes
