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5.3. Subgroups of Space Groups

space groupのsubgroupの分類

　一般にcrystalは相転移に伴ってspace groupが変化します。その相転移が原子の秩序/無秩序現象やわずかな変位によって起こる場合、転移前後のspace groupはsubgroup/超群の関係となります。ここでは、space group同士のsubgroup/超群の関係性(分類や性質)を説明します¹。Note:space groupの階層構造を明確にするために、極大subgroup (maximal subgroup)/極小超群(minimal supergroup)² のみを考慮します。

　まず、space groupの部分(空間)群をbelowの二つに分類することにします。

並進操作は保存されるがそれ以外のsymmetry operation (回転・回反・らせん・映進) の一部が失われ、crystal類 (crystal class) が変化するsubgroup (t-subgroup)
並進操作の一部は失われるがそれ以外のsymmetry operationが保存され、crystal類が変化しないsubgroup (k-subgroup)

1のケースを t-subgroup, 2のケースをk-subgroupといいます³。もちろん、並進操作とそれ以外の操作の両方が失われるようなsubgroupもありますが、これは「t-subgroupのk-subgroup」と考えることが出来ますから分類は不要ですしそもそも「極大」subgroupにはなりえません。t-subgroupとk-subgroupは、表現の流儀⁴によってそれぞれタイプI、タイプIIと呼ぶことがあります。さらにタイプIIは実用上の理由から三つのサブタイプに分けられているのですが、International Tables for Crystallography の Volume A (5^th edition, 2002, belowITA 5^th) 以前と Volume A1 (1^st edition, 2004, belowITA1 1^st) 以降で、定義が若干異なります。さらにこのサブタイプは、isomorphismsubgroup (i-subgroup)という概念とも関係します。このようにspace groupのsubgroupの分類はややこしい状況になっておりますため、belowに表としてまとめてみました。

	symmetry operationの変化	crystal類	isomorphismか否か	ITAの表記			unit cellのサイズ
	symmetry operationの変化	crystal類	isomorphismか否か	ITA 5^th	ITA1 1^st		unit cellのサイズ
t- subgroup	回転・回反・らせん・映進操作の一部が低下	変化する	非isomorphism (non-isomorphic)	I	I		もとの群の unit cellと同一
k- subgroup	並進操作の一部が低下	変化しない		IIa	II (Loss of centring translations)		もとの群の unit cellと同一
				IIb		II (Enlarged unit cell)	もとの群の unit cellより大きい
			isomorphism (isomorphic)	IIc	II (Series of maximal isomorphic subgroups)	II (Enlarged unit cell)	もとの群の unit cellより大きい

belowに重要な用語説明を補足します。

crystal類 (Crystal Classes)

　すでに「5.1. Classification of Space Groups」ページも述べたとおり、一言でいうとcrystal族point groupのことです。すべてのspace groupは32種類のcrystal族point groupのいずれかに対応しており、これをcrystal類といいます。crystal系 (Crystal System) と混同しやすい用語なので注意しましょう。crystal類は、space group表記から① 最初の一文字 (格子の記号) を削除し、②すべての下付き数字 (screw axisの並進情報) を削除し、③すべての小文字アルファベット (映進操作) を (m) に変換することによって得られます。Ex.えばspace group (Fdbar{3}m) は crystal類 (mbar{3}m)であり、space group (P6_422) は crystal類 (622) です。

　crystal類の概念をもう少し正確に言うと、space groupのsubgroupである並進群を法としてfactor groupを作ったとき、それと同じ代数的構造を持つpoint groupのことです。これに関する詳しい議論は、「2.4. Subgroups and Cosets」ページをご覧ください。

isomorphismsubgroup (Isomorphic-subgroups)

　Isomorphic(isomorphism)な関係にあるsubgroupのことです。i-subgroupと表現されることもあります。isomorphismとは、群(G_1)と(G_2) 、もし(G_1)の元と(G_2)の元を一対一で結びつけるような写像 (f) が存在したときの、(G_1)と(G_2)の関係のことをいいます。写像 (f) は当然全単射関数ということになります。群(G_1)と(G_2)がisomorphismであれば、群論的な立場では全く同じ性質の群とみなすことが出来ます (isomorphismの概念は、こ「2.5. Group Multiplication Table (Cayley Table) and Isomorphism」ページもご覧ください)。

　表記が同一のspace groupは必ずisomorphismであり、表記が異なるspace groupは基本的にisomorphismではありません⁵。Therefore, i-subgroupは殆どの場合もとのspace groupと同じ表記となりますが、基底ベクトルは必ず異なります。

I (I-Maximal subgroup)

　”t-“の定義と完全に同じであり、ITA 5^th でも ITA1 1^st でも “I“という記号で表現されます。もとの群からpoint group操作の一部だけを取り除いた群であり、基底の並進ベクトルは変化しません(つまりunit cellは同一)が、crystal類は変化します。point group操作の一部を除去するため、isomorphism(isomorphic)な関係にはなり得ません。

　Ex.えば (P2)に対する (P1) や、(Fdbar{3}m) に対する (Fbar{4}3m) などが、このタイプに属します。

IIa = II (Loss of centring translations)

　k-subgroupの一種であり、もとのspace groupから複合格子成分を取り除いたsubgroupのことを言います。ITA 5^th ではIIa と表現され、 ITA1 1^st では II (Loss of centring translations) と表現されています。

　もとのspace groupが(P) 格子である場合は、このタイプのsubgroupは存在しません。(I), (F), (A), (B), (C), (R) (六方格子設定の場合) 格子のいずれかであった場合は、このタイプのsubgroupが必ず存在します。複合格子成分を取り除くだけですので、unit cellのサイズは変化しません。また、isomorphismな関係にはなることもありません。

　Ex.えば (C2)に対する (P2) や、(Imbar{3}m) に対する (Pmbar{3}m) などが、このタイプに属します。

II (Enlarged unit cell)

　k-subgroupの一種です。並進操作の一部を取り除いて、unit cellが大きくなったsubgroupのことです。belowに説明する IIb と IIc の和集合です。このタイプのsubgroupは無限に存在します。

IIb

　II (Enlarged unit cell) に分類されるsubgroupのうち、isomorphismではないsubgroupのことです。

IIc = II (Series of maximal isomorphic subgroups)

　II (Enlarged unit cell) に分類されるsubgroupのうち、isomorphismなsubgroupのことです。ITA 5^th ではIIc と表現され、 ITA1 1^st では II (Series of maximal isomorphic subgroups) と表現されています。

　Ex.えば (P2) (主軸は(b)) に対して、(b)軸を2倍にしたcrystal格子を持つ (P2) や (P2_1)は、どちらもII (Enlarged unit cell) タイプの極大subgroupです。(P2) はisomorphismsubgroupなのでIIc であり、(P2_1) は非isomorphismsubgroupなので IIb です。

subgroupのEx.

　230のspace groupに対するsubgroupの階層構造は別ページ ( t-subgroup、k-subgroup) に記載しています。ここでは、具体的にいくつかのspace groupをEx.にして、極大subgroupの性質を解説します。ITA 5^th の表記法に則って説明していきます。

Ex.1: (P1)

I タイプ

　(P1) はidentity operation以外のpoint group操作を含まないので、このタイプのsubgroupはありません。

IIa タイプ

　(P1) は複合格子ではないので、このタイプもありません。

IIb タイプ

　(P1) のsubgroupは(P1) しかありえませんので、このタイプもありません。

IIc タイプ

　(P1)のsubgroupはこのタイプのみです。Ex.えば、crystallattice vector (textbf{a},textbf{b}, textbf{c}) をもつspace group(P1)に対して、crystallattice vector (ptextbf{a},qtextbf{b}, rtextbf{c}) (where(p,q,r)は互いに素な自然数) を持つspace group(P1)はIIc subgroupであり、その位数(index)は(ptimes qtimes r)です。(p,q,r) が互いに素でない場合は「極大」ではないsubgroupとなります。

　また、(textbf{a},textbf{b}, textbf{c})を適当に合成したベクトルをcrystal格子とすると、やはりIIc subgroupになります。Ex.えば (textbf{a},textbf{b}+textbf{c}, textbf{c}-textbf{b}) とか (textbf{a}-textbf{c},textbf{b}, textbf{a}+textbf{c}) とか (textbf{a}+textbf{b},textbf{b}-textbf{a}, textbf{c}) とか (textbf{b}+textbf{c},textbf{c}+textbf{a}, textbf{a}+textbf{b}) などです(位数は全て2)。

Ex.2: (C1m1)

　(C1m1)のunit cellひとつ分のgeneral position⁶はbelowの4つです。

((1) x, y, z ,, (2)x,bar{y},z ,, (3)x+frac{1}{2},y+frac{1}{2},z ,, (4)x+frac{1}{2},bar{y}+frac{1}{2},z)

((1)) と ((3)) (あるいは ((2)) と ((4))) を結び付ける操作は (C) i.e., ((frac{1}{2},frac{1}{2},0)+ ) です。((1)) と ((2)) (あるいは ((3)) と ((4))) を結び付ける操作は (m) 鏡映、((1)) と ((4)) (あるいは ((2)) と ((3))) を結び付ける操作は (a) 映進です。

I タイプ

　I タイプは並進操作は保存されるが、point group操作の一部を失うようなsubgroupです。並進操作を保存して (つまり、((1)) と ((3)) を残して) できるsubgroupは(C1)⁷であり、これが唯一のタイプIです。point group操作 (m) は確かに失われていますね。

IIa タイプ

　IIa タイプは並進操作の一部を失うが、unit cellサイズは変化しないsubgroupでした。複合格子は (C) ですので、単純に考えると (P1m1) が唯一の答えのような気がしますが、実はもう一つ、 (P1a1) も答えです。((1)) と ((2)) を残せば (P1m1) 、((1)) と ((4)) を残せば (P1a1) となり、どちらも (C : (frac{1}{2},frac{1}{2},0)+ ) の並進操作が失われていますので、IIa のsubgroupということになります。

IIb, IIc タイプ

　IIbとIIc は、共にもとの群から並進操作の一部が失われ、unit cellが大きくなるsubgroupです。もとの群とはisomorphismではない場合がIIb, isomorphismな場合がIIc です。(C1m1) のcrystallattice vector (textbf{a},textbf{b}, textbf{c}) を整数倍したり組み合わせたりして新たな格子を設定し、そこから並進操作を取り除いていけばいいわけです。Ex.えば、(textbf{c}) 方向が2倍になったcrystal格子を考えてみましょう。もとの2倍のサイズになったunit cell中のgeneral positionは、

$$begin{array}{lll}
(1) x, y, z & (2)x,bar{y},z &(3)x+frac{1}{2},y+frac{1}{2},z & (4)x+frac{1}{2},bar{y}+frac{1}{2},z
(5) x, y, z+frac{1}{2} & (6)x,bar{y},z+frac{1}{2} & (7)x+frac{1}{2},y+frac{1}{2},z+frac{1}{2} & (8)x+frac{1}{2},bar{y}+frac{1}{2},z+frac{1}{2}
end{array}$$

と表現できます。(2textbf{c}) を改めて (textbf{c}) と取り直しますので、((1)sim(4)) に対して ((5)sim(8)) の(Z) 座標には (+frac{1}{2}) が加わっていることに注意してください。これらの中から ((1), (2), (3), (4)) を残すとisomorphismなsubgroupである (C1m1) (IIc)が取り出せますし、((1), (3), (6), (8)) を残せばisomorphismではないsubgroup (C1c1) (IIb)が取り出せます。

　(C1m1) のタイプ IIb, IIc subgroupはまだまだたくさんあるのですが、(textbf{a},textbf{b}, textbf{c}) を整数倍して組み合わせる作業を網羅するのはとても大変です。よほど群論好きな人でなければ、素直にITAにまとめられている情報をseeするのがよいでしょう。

Footnotes

もちろんspace groupからsubgroupとしてpoint groupを取り出すこともできます。このようなpoint groupをsite symmetry (site symmetry) といいます。詳しくは「3.3. Site Symmetry and Wyckoff Positions」をseeしてください。 ↩︎
最大subgroup/最小超群と訳されることもありますが、このHPでは極大subgroup/極小超群と表記します。群 (G) のsubgroup (H) が極大subgroupであるための要件は、(H) の超群となるような (G) のsubgroupが ((G) や (H) そのものは除いて) 存在しないことです。 ↩︎
「t-」のドイツ語 translationengleich (「同じ並進」の意)、「k-」は klassengleiche (「同じクラス」の意)の頭文字です。 ↩︎
英語圏のcrystal学者はタイプI, IIという表現を好むように思われます。ITAでもタイプI, IIの表現が採用されています ↩︎
Ex.外は、①基底ベクトルの変換 (crystal格子は変えず (mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) の取り方だけを変える) によって見かけ上space group表記が変わる場合 (Ex.えば(Pma2)と(P2mb)など, 「6.3. Choice of Axes and Axis Transformation」をsee)と、② 鏡像の関係にあるspace groupの場合 (Ex.えば (P4_1)と(P4_3)など, 「2.4. 群のmultiplication table・isomorphism」をsee) があります。 ↩︎
general positionとは、site symmetryが (1) のWyckoff positionのことです。Wyckoff positionの概念は「3.3. Site Symmetry and Wyckoff Positions」をseeしてください。 ↩︎
ちなみに、(C1) というspace groupは標準表記ではありません。(C1) のcrystallattice vector (textbf{a},textbf{b}, textbf{c}) をさらに (frac{1}{2}(textbf{a}-textbf{b}),frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b}), textbf{c}) と変換すれば (P1)という標準表記のspace groupとして表現できます。 ↩︎