はじめに
space groupは230種類存在し、それらは超群/subgroupという階層構造で整理することができます。別ページで説明している通り、space groupのsubgroupには t-subgroupと k-subgroupがあります。前者は、単位格子のサイズは変化しないがcrystal類 (space groupが属する32種類のcrystal族point group) が変化するようなsubgroupです。後者は、単位格子のサイズは変化する場合もしない場合もありますが、crystal類は不変に保たれるsubgroupです。
このページでは、k-subgroupの階層構造(グラフ)を紹介します。k-subgroupはcrystal類が変化しないsubgroupですから、最大でも32個のツリー構造を紹介すれば十分です。このうちcrystal類 (1), (bar{1}), (bar{6}) はそれぞれ一つしかspace groupを含みません。また、crystal類 (6mm)と(6/mmm)、(6)と(622)、(3m)と(bar{3}m) は同じ階層構造を持っています。結局、意味のある k-subgroupの階層構造は26個のグラフにまとめることができます。belowの表は、あるspace groupが登場するグラフ番号をまとめたものです。
| 1 | (P1) | – | 47 | (Pmmm) | 5.1. | 93 | (P4_222) | 4.4. | 139 | (I4/mmm) | 4.1. | 185 | (P6_3cm) | 2.1. |
| 2 | (Pbar{1}) | – | 48 | (Pnnn) | 94 | (P4_22_12) | 140 | (I4/mcm) | 186 | (P6_3mc) | ||||
| 3 | (P2) | 6.3. | 49 | (Pccm) | 95 | (P4_322) | 141 | (I4_1/amd) | 187 | (Pbar{6}m2) | 2.2. | |||
| 4 | (P2_1) | 50 | (Pban) | 96 | (P4_32_12) | 142 | (I4_1/acd) | 188 | (Pbar{6}c2) | |||||
| 5 | (C2) | 51 | (Pmma) | 97 | (I422) | 143 | (P3) | 3.4. | 189 | (Pbar{6}2m) | ||||
| 6 | (Pm) | 6.2. | 52 | (Pnna) | 98 | (I4_122) | 144 | (P3_1) | 190 | (Pbar{6}2c) | ||||
| 7 | (Pc) | 53 | (Pmna) | 99 | (P4mm) | 4.3. | 145 | (P3_2) | 191 | (P6/mmm) | 2.1. | |||
| 8 | (Cm) | 54 | (Pcca) | 100 | (P4bm) | 146 | (R3) | 192 | (P6/mcc) | |||||
| 9 | (Cc) | 55 | (Pbam) | 101 | (P4_2cm) | 147 | (Pbar{3}) | 3.3. | 193 | (P6_3/mcm) | ||||
| 10 | (P2/m) | 6.1. | 56 | (Pccn) | 102 | (P4_2nm) | 148 | (Rbar{3}) | 194 | (P6_3/mmc) | ||||
| 11 | (P2_1/m) | 57 | (Pbcm) | 103 | (P4cc) | 149 | (P312) | 3.2. | 195 | (P23) | 1.5 | |||
| 12 | (C2/m) | 58 | (Pnnm) | 104 | (P4nc) | 150 | (P321) | 196 | (F23) | |||||
| 13 | (P2/c) | 59 | (Pmmn) | 105 | (P4_2mc) | 151 | (P3_112) | 197 | (I23) | |||||
| 14 | (P2_1/c) | 60 | (Pbcn) | 106 | (P4_2bc) | 152 | (P3_121) | 198 | (P2_13) | |||||
| 15 | (C2/c) | 61 | (Pbca) | 107 | (I4mm) | 153 | (P3_212) | 199 | (I2_13) | |||||
| 16 | (P222) | 5.3. | 62 | (Pnma) | 108 | (I4cm) | 154 | (P3_221) | 200 | (Pmbar{3}) | 1.4. | |||
| 17 | (P222_1) | 63 | (Cmcm) | 109 | (I4_1md) | 155 | (R32) | 201 | (Pnbar{3}) | |||||
| 18 | (P2_12_12) | 64 | (Cmca) | 110 | (I4_1cd) | 156 | (P3m1) | 3.1. | 202 | (Fmbar{3}) | ||||
| 19 | (P2_12_12_1) | 65 | (Cmmm) | 111 | (Pbar{4}2m) | 4.2. | 157 | (P31m) | 203 | (Fdbar{3}) | ||||
| 20 | (C222_1) | 66 | (Cccm) | 112 | (Pbar{4}2c) | 158 | (P3c1) | 204 | (Imbar{3}) | |||||
| 21 | (C222) | 67 | (Cmma) | 113 | (Pbar{4}2_1m) | 159 | (P31c) | 205 | (Pabar{3}) | |||||
| 22 | (F222) | 68 | (Ccce) | 114 | (Pbar{4}2_1c) | 160 | (R3m) | 206 | (Iabar{3}) | |||||
| 23 | (I222) | 69 | (Fmmm) | 115 | (Pbar{4}m2) | 161 | (R3c) | 207 | (P432) | 1.3. | ||||
| 24 | (I2_12_12_1) | 70 | (Fddd) | 116 | (Pbar{4}c2) | 162 | (Pbar{3}1m) | 208 | (P4_232) | |||||
| 25 | (Pmm2) | 5.2. | 71 | (Immm) | 117 | (Pbar{4}b2) | 163 | (Pbar{3}1c) | 209 | (F432) | ||||
| 26 | (Pmc2_1) | 72 | (Ibam) | 118 | (Pbar{4}n2) | 164 | (Pbar{3}m1) | 210 | (F4_132) | |||||
| 27 | (Pcc2) | 73 | (Ibca) | 119 | (Ibar{4}m2) | 165 | (Pbar{3}c1) | 211 | (I432) | |||||
| 28 | (Pma2) | 74 | (Imma) | 120 | (Ibar{4}c2) | 166 | (Rbar{3}m) | 212 | (P4_332) | |||||
| 29 | (Pca2_1) | 75 | (P4) | 4.7. | 121 | (Ibar{4}2m) | 167 | (Rbar{3}c) | 213 | (P4_132) | ||||
| 30 | (Pnc2) | 76 | (P4_1) | 122 | (Ibar{4}2d) | 168 | (P6) | 2.3. | 214 | (I4_132) | ||||
| 31 | (Pmn2_1) | 77 | (P4_2) | 123 | (P4/mmm) | 4.1. | 169 | (P6_1) | 215 | (Pbar{4}3m) | 1.2. | |||
| 32 | (Pba2) | 78 | (P4_3) | 124 | (P4/mcc) | 170 | (P6_5) | 216 | (Fbar{4}3m) | |||||
| 33 | (Pna2_1) | 79 | (I4) | 125 | (P4/nbm) | 171 | (P6_2) | 217 | (Ibar{4}3m) | |||||
| 34 | (Pnn2) | 80 | (I4_1) | 126 | (P4/nnc) | 172 | (P6_4) | 218 | (Pbar{4}3n) | |||||
| 35 | (Cmm2) | 81 | (Pbar{4}) | 4.6. | 127 | (P4/mbm) | 173 | (P6_3) | 219 | (Fbar{4}3c) | ||||
| 36 | (Cmc2_1) | 82 | (Ibar{4}) | 128 | (P4/mnc) | 174 | (Pbar{6}) | – | 220 | (Ibar{4}3d) | ||||
| 37 | (Ccc2) | 83 | (P4/m) | 4.5. | 129 | (P4/nmm) | 175 | (P6/m) | 2.4. | 221 | (Pmbar{3}m) | 1.1. | ||
| 38 | (Amm2) | 84 | (P4_2/m) | 130 | (P4/ncc) | 176 | (P6_3/m) | 222 | (Pnbar{3}n) | |||||
| 39 | (Abm2) | 85 | (P4/n) | 131 | (P4_2/mmc) | 177 | (P622) | 2.3. | 223 | (Pmbar{3}n) | ||||
| 40 | (Ama2) | 86 | (P4_2/n) | 132 | (P4_2/mcm) | 178 | (P6_122) | 224 | (Pnbar{3}m) | |||||
| 41 | (Aba2) | 87 | (I4/m) | 133 | (P4_2/nbc) | 179 | (P6_522) | 225 | (Fmbar{3}m) | |||||
| 42 | (Fmm2) | 88 | (I4_1/a) | 134 | (P4_2/nnm) | 180 | (P6_222) | 226 | (Fmbar{3}c) | |||||
| 43 | (Fdd2) | 89 | (P422) | 4.4. | 135 | (P4_2/mbc) | 181 | (P6_422) | 227 | (Fdbar{3}m) | ||||
| 44 | (Imm2) | 90 | (P42_12) | 136 | (P4_2/mnm) | 182 | (P6_322) | 228 | (Fdbar{3}c) | |||||
| 45 | (Iba2) | 91 | (P4_122) | 137 | (P4_2/nmc) | 183 | (P6mm) | 2.1. | 229 | (Imbar{3}m) | ||||
| 46 | (Ima2) | 92 | (P4_12_12) | 138 | (P4_2/ncm) | 184 | (P6cc) | 230 | (Iabar{3}d) |
グラフの見方
- 全てのspace groupにはisomorphismのk-subgroup (表記は同じだがもとの単位格子よりサイズの大きいsubgroup1) が存在しますが、このページのグラフ中ではisomorphismのk-subgroupは表現しません。
- isomorphismのk-subgroupを表現すると始点と終点が重なるループを書くことになり冗長だからです。
- グラフ中のspace groupのレベル(高さ)は、相対的関係のみが意味を持ちます。
- t-subgroupのグラフとは異なり、space groupのレベルとgroup orderに関係はありません。
- 線で接続された下位のspace groupは、上位のspace groupの k-極大subgroupであることを示しています。
- 矢印が出ていない最下層レベルのspace groupは、非isomorphismの k-subgroupが存在しないことを意味します。
- 同一レベルにあるspace groupが矢印でつながっている場合、矢先のspace groupは矢尻のspace groupのk-極大subgroupであることを意味しています。
- 両頭が矢印の場合、両方が互いのk-極大subgroupであることを意味します2。
- space group記号の背景色が複数存在するグラフは、同一の階層構造を持つsubgroup関係をまとめたものです。
- 各グラフの右下に記した番号 (2.5.5.5.など) は International Tables for Crystallography A1 (1st edition) 中のテーブル番号に対応しています。
1. cubic crystal system
1.1. crystal類 (mbar{3}m)
2.5.5.5.
1.2. crystal類 (bar{4}3m)
2.5.5.4.
1.3. crystal類 (432)
2.5.5.3.
1.4. crystal類 (mbar{3})
2.5.3.2.
1.5. crystal類 (23)
2.5.3.1.
2. hexagonal crystal system
2.1. crystal類 (6/mmm), (6mm)
2.5.4.4. + 2.5.4.6.
2.2. crystal類 (bar{6}2m)
2.5.4.5.
2.3. crystal類 (622), (6)
2.5.4.1. + 2.5.4.3.
2.4. crystal類 (6/m)
2.5.4.2
3. trigonal crystal system
3.1. crystal類 (3m), (bar{3}m)
2.5.3.4. + 2.5.3.5.
3.2. crystal類 (32)
2.5.3.3.
3.3. crystal類 (bar{3})
2.5.3.2.
3.4. crystal類 (3)
2.5.3.1.
4. tetragonal crystal system
4.1. crystal類 (4/mmm)
2.5.2.7.
4.2. crystal類 (bar{4}2m)
2.5.2.6.
4.3. crystal類 (4mm)
2.5.2.5.
4.4. crystal類 (422)
2.5.2.4
4.5. crystal類 (4/m)
2.5.2.3.
4.6. crystal類 (bar{4})
2.5.2.2.
4.7. crystal類 (4)
2.5.2.1.
5. 直方晶系
5.1. crystal類 (mmm)
2.5.1.6.
5.2. crystal類 (mm2)
2.5.1.5.
5.3. crystal類 (222)
2.5.1.4.
6. monoclinic crystal system
6.1. crystal類 (2/m)
2.5.1.3.
6.2. crystal類 (m)
2.5.1.2
6.3. crystal類 (2)
2.5.1.1.
Footnotes
- International Tables for Crystallography A (5th ed.)では “IIc“、A1 (1st ed.) では “II (Series of maximal isomorphic subgroups)”と表記されるsubgroupのことです。 ↩︎
- たとえばグラフ1.1.では (Pmbar{3}m) と (Imbar{3}m) が両頭矢印で結ばれています。前者から後者へのsubgroupは、前者のlattice parameters (textbf{a}, textbf{b}, textbf{c}) をすべて2倍にして、一部のpoint group操作を取り除くことによって生じます。i.e.,タイプIIbです。後者から前者へのsubgroupは、lattice parametersはそのままで、体心格子並進 ((frac{1}{2},frac{1}{2},frac{1}{2})+) を取り除くことによって生じます。これはタイプIIcです。 ↩︎