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5.3.2. t-Subgroups

はじめに

　このページでは、t-subgroupの階層構造(グラフ)を紹介します。t-subgroupの階層構造はcrystal族point groupのsubgroup関係に類似しています。i.e.,、あるspace group (G) のcrystalクラス(に対応するpoint group)を (G’) としたとき、 (G) の t-subgroupのcrystalクラスは必ず (G’) のsubgroupになります。

　ところで、230種類のspace group ひとつずつ独立に紹介するのは膨大で大変です。そのため、まず高い対称性のspace groupを頂点とする大きな階層構造グラフから紹介し、途中の階層に現れるspace group は再度紹介しません。さらに同一の階層構造を持つspace groupをなるべく集約し、space group記号の背景色によって区別できるようにしています。このような工夫によって、 t-subgroupの関係は19 個のグラフにまとめることができます。belowの表は、あるspace groupが現れる最初のグラフ番号を表しています。すべてのspace groupは19 個のグラフのどこかに必ず現れます。

1	(P1)		47	(Pmmm)	1.1.	93	(P4_222)	1.1.	139	(I4/mmm)	1.2.	185	(P6_3cm)	3.2.
2	(Pbar{1})	1.1.	48	(Pnnn)	1.1.	94	(P4_22_12)	2.2.	140	(I4/mcm)	1.3.	186	(P6_3mc)	3.2.
3	(P2)	1.1.	49	(Pccm)	2.1.	95	(P4_322)	2.6.	141	(I4_1/amd)	1.3.	187	(Pbar{6}m2)	3.1.
4	(P2_1)	1.6.	50	(Pban)	2.3.	96	(P4_32_12)	1.6.	142	(I4_1/acd)	1.2.	188	(Pbar{6}c2)	3.1.
5	(C2)	1.1.	51	(Pmma)	4.1.	97	(I422)	1.2.	143	(P3)	3.1.	189	(Pbar{6}2m)	3.1.
6	(Pm)	1.1.	52	(Pnna)	4.2.	98	(I4_122)	1.2.	144	(P3_1)	3.3.	190	(Pbar{6}2c)	3.1.
7	(Pc)	1.1.	53	(Pmna)	4.1.	99	(P4mm)	1.1.	145	(P3_2)	3.3.	191	(P6/mmm)	3.1.
8	(Cm)	1.1.	54	(Pcca)	4.2.	100	(P4bm)	2.3.	146	(R3)	1.1.	192	(P6/mcc)	3.1.
9	(Cc)	1.1.	55	(Pbam)	2.4.	101	(P4_2cm)	2.1.	147	(Pbar{3})	3.1.	193	(P6_3/mcm)	3.2.
10	(P2/m)	1.1.	56	(Pccn)	2.2.	102	(P4_2nm)	1.1.	148	(Rbar{3})	1.1.	194	(P6_3/mmc)	3.2.
11	(P2_1/m)	2.4.	57	(Pbcm)	4.1.	103	(P4cc)	2.1.	149	(P312)	3.1.	195	(P23)	1.1.
12	(C2/m)	1.1.	58	(Pnnm)	2.4.	104	(P4nc)	1.1.	150	(P321)	3.1.	196	(F23)	1.2.
13	(P2/c)	1.1.	59	(Pmmn)	2.4.	105	(P4_2mc)	1.1.	151	(P3_112)	3.3.	197	(I23)	1.4.
14	(P2_1/c)	1.6.	60	(Pbcn)	4.2.	106	(P4_2bc)	2.3.	152	(P3_121)	3.3.	198	(P2_13)	1.6.
15	(C2/c)	1.1.	61	(Pbca)	1.6.	107	(I4mm)	1.2.	153	(P3_212)	3.3.	199	(I2_13)	1.5.
16	(P222)	1.1.	62	(Pnma)	4.3.	108	(I4cm)	1.3.	154	(P3_221)	3.3.	200	(Pmbar{3})	1.1.
17	(P222_1)	2.6.	63	(Cmcm)	3.2.	109	(I4_1md)	1.3.	155	(R32)	1.1.	201	(Pnbar{3})	1.1.
18	(P2_12_12)	2.2.	64	(Cmca)	4.4.	110	(I4_1cd)	1.2.	156	(P3m1)	3.1.	202	(Fmbar{3})	1.2.
19	(P2_12_12_1)	1.6.	65	(Cmmm)	1.1.	111	(Pbar{4}2m)	1.1.	157	(P31m)	3.1.	203	(Fdbar{3})	1.2.
20	(C222_1)	1.6.	66	(Cccm)	1.1.	112	(Pbar{4}2c)	1.1.	158	(P3c1)	3.1.	204	(Imbar{3})	1.4.
21	(C222)	1.1.	67	(Cmma)	1.1.	113	(Pbar{4}2_1m)	2.2.	159	(P31c)	3.1.	205	(Pabar{3})	1.6.
22	(F222)	1.2.	68	(Ccce)	1.1.	114	(Pbar{4}2_1c)	2.2.	160	(R3m)	1.1.	206	(Iabar{3})	1.5.
23	(I222)	1.2.	69	(Fmmm)	1.2.	115	(Pbar{4}m2)	1.1.	161	(R3c)	1.1.	207	(P432)	1.1.
24	(I2_12_12_1)	1.2.	70	(Fddd)	1.2.	116	(Pbar{4}c2)	2.1.	162	(Pbar{3}1m)	3.1.	208	(P4_232)	1.1.
25	(Pmm2)	1.1.	71	(Immm)	1.2.	117	(Pbar{4}b2)	2.3.	163	(Pbar{3}1c)	3.1.	209	(F432)	1.2.
26	(Pmc2_1)	2.4.	72	(Ibam)	1.3.	118	(Pbar{4}n2)	1.1.	164	(Pbar{3}m1)	3.1.	210	(F4_132)	1.2.
27	(Pcc2)	2.1.	73	(Ibca)	1.2.	119	(Ibar{4}m2)	1.2.	165	(Pbar{3}c1)	3.1.	211	(I432)	1.4.
28	(Pma2)	2.1.	74	(Imma)	1.3.	120	(Ibar{4}c2)	1.2.	166	(Rbar{3}m)	1.1.	212	(P4_332)	1.6.
29	(Pca2_1)	1.6.	75	(P4)	1.1.	121	(Ibar{4}2m)	1.2.	167	(Rbar{3}c)	1.1.	213	(P4_132)	1.6.
30	(Pnc2)	2.3.	76	(P4_1)	1.6.	122	(Ibar{4}2d)	1.2.	168	(P6)	3.1.	214	(I4_132)	1.5.
31	(Pmn2_1)	2.4.	77	(P4_2)	1.1.	123	(P4/mmm)	1.1.	169	(P6_1)	3.3.	215	(Pbar{4}3m)	1.1.
32	(Pba2)	2.3.	78	(P4_3)	1.6.	124	(P4/mcc)	2.1.	170	(P6_5)	3.3.	216	(Fbar{4}3m)	1.2.
33	(Pna2_1)	2.2.	79	(I4)	1.2.	125	(P4/nbm)	2.3.	171	(P6_2)	3.3.	217	(Ibar{4}3m)	1.4.
34	(Pnn2)	1.1.	80	(I4_1)	1.2.	126	(P4/nnc)	1.1.	172	(P6_4)	3.3.	218	(Pbar{4}3n)	1.1.
35	(Cmm2)	1.1.	81	(Pbar{4})	1.1.	127	(P4/mbm)	2.4.	173	(P6_3)	3.2.	219	(Fbar{4}3c)	1.2.
36	(Cmc2_1)	3.2.	82	(Ibar{4})	1.2.	128	(P4/mnc)	2.5.	174	(Pbar{6})	3.1.	220	(Ibar{4}3d)	1.5.
37	(Ccc2)	1.1.	83	(P4/m)	1.1.	129	(P4/nmm)	2.4.	175	(P6/m)	3.1.	221	(Pmbar{3}m)	1.1.
38	(Amm2)	1.1.	84	(P4_2/m)	1.1.	130	(P4/ncc)	2.2.	176	(P6_3/m)	3.2.	222	(Pnbar{3}n)	1.1.
39	(Abm2)	1.1.	85	(P4/n)	1.1.	131	(P4_2/mmc)	1.1.	177	(P622)	3.1.	223	(Pmbar{3}n)	1.1.
40	(Ama2)	1.1.	86	(P4_2/n)	1.1.	132	(P4_2/mcm)	2.1.	178	(P6_122)	3.3.	224	(Pnbar{3}m)	1.1.
41	(Aba2)	1.1.	87	(I4/m)	1.2.	133	(P4_2/nbc)	2.3.	179	(P6_522)	3.3.	225	(Fmbar{3}m)	1.2.
42	(Fmm2)	1.2.	88	(I4_1/a)	1.2.	134	(P4_2/nnm)	1.1.	180	(P6_222)	3.3.	226	(Fmbar{3}c)	1.3.
43	(Fdd2)	1.2.	89	(P422)	1.1.	135	(P4_2/mbc)	2.5.	181	(P6_422)	3.3.	227	(Fdbar{3}m)	1.3.
44	(Imm2)	1.2.	90	(P42_12)	2.2.	136	(P4_2/mnm)	2.4.	182	(P6_322)	3.2.	228	(Fdbar{3}c)	1.2.
45	(Iba2)	1.2.	91	(P4_122)	2.6.	137	(P4_2/nmc)	2.5.	183	(P6mm)	3.1.	229	(Imbar{3}m)	1.4.
46	(Ima2)	1.3.	92	(P4_12_12)	1.6.	138	(P4_2/ncm)	2.2.	184	(P6cc)	3.1.	230	(Iabar{3}d)	1.5.

グラフの見方

space groupとspace groupをつなぐ線は、下に向かってt-極大subgroupの関係を表しています。
- 二重線や三重線は、正規極大subgroupが二つあるいは三つ存在することを示してます。
各グラフ中で同一のレベルに並んでいるspace groupは、crystal類の位数が等しいことを意味しています。高いレベルほど位数は大きくなります(crystal族point groupのsubgroup関係をsee)。
space group記号の背景色が複数存在するグラフは、同一の階層構造を持つsubgroup関係をまとめたものです。
- 最上位レベルでは、複数のspace groupに対して独立の背景色が割り当てられています。
- 最上位を除くレベルでは、一つのspace groupに対して複数の背景色が割り当てられることがあります (Ex.えば1.1.グラフ中の(P23)) 。このようなspace groupは、それらの色に対応するspace groupの共通のsubgroupであることを意味します。
全てのグラフの最下層にはcrystal類 (3), (m), (2), (bar{1}) のいずれかに属するspace groupが位置しています。実はこれらのspace groupは真の最下層ではなく、t-極大subgroupとして (P1) を有しています。本来であれば (P1) に向けて下向きの線でつなげるべきなのですが、グラフの巨大化を避けたいという理由で省略しています。
各グラフの右下に記した番号 (2.4.1.1.など) は International Tables for Crystallography A1 (1^st edition) 中のテーブル番号に対応しています。