Toraya(1990)によれば、回折ピーク関数には、
・Symmetric Pseudo Voigt: ガウス関数とローレンツ関数の混合
・Split Pseudo Voigt: Symmetric Pseudo Voigtを非対称に拡張
・Symmetric PearsonVII: 確率密度分布関数のひとつ
・Split Pearson VII: PearsonVIIを非対称に拡張
といった関数形を利用するとよいらしいです。具体的には以下のような形になります。
Symmetric Pseudo Voigt:
\(
f(x, \eta, H_k) = \frac{2}{H_k \pi} \left(
\frac{\eta}{1+ \left(\frac{2x}{H_k}\right)^2} +
(1-\eta) \sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\frac{2x}{H_k}\right)^2}
\right)
\)
f(x, \eta, H_k) = \frac{2}{H_k \pi} \left(
\frac{\eta}{1+ \left(\frac{2x}{H_k}\right)^2} +
(1-\eta) \sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\frac{2x}{H_k}\right)^2}
\right)
\)
Split Pseudo Voigt:
\(
f(x, \eta_l,\eta_h, A, H_k) =
\frac{2}{ H_k \pi + \frac{H_k \pi (\eta_h-\eta_l)(\sqrt{\pi\ln2} – 1) }{(1+e^A)(\eta_h+ \sqrt{\pi\ln2} (1-\eta_h))}}
\left(
\frac{\eta_l}{1+\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2} + (1-\eta_l)\sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2}
\right)
\)
f(x, \eta_l,\eta_h, A, H_k) =
\frac{2}{ H_k \pi + \frac{H_k \pi (\eta_h-\eta_l)(\sqrt{\pi\ln2} – 1) }{(1+e^A)(\eta_h+ \sqrt{\pi\ln2} (1-\eta_h))}}
\left(
\frac{\eta_l}{1+\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2} + (1-\eta_l)\sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2}
\right)
\)
オリジナルの形から\(A \rightarrow e^{A}\)と変更しています。また、上式は\(X<0\) のとき。\(X>0\) のときは、 \(\eta_h\Leftrightarrow\eta_l, A\Leftrightarrow -A\) と置き換えます。
Symmetric Pearson VII:
\(
f(x, R, H_k) =
\frac{2\sqrt{2^{1/R}-1}\cdot \Gamma(R)}{H_k\sqrt\pi \cdot \Gamma(R-1/2)}
\left(
1 + (2^{1/R}-1) \left(\frac{2x}{H_k}\right)^2
\right)^{-R}
\)
f(x, R, H_k) =
\frac{2\sqrt{2^{1/R}-1}\cdot \Gamma(R)}{H_k\sqrt\pi \cdot \Gamma(R-1/2)}
\left(
1 + (2^{1/R}-1) \left(\frac{2x}{H_k}\right)^2
\right)^{-R}
\)
Split Pearson VII:
\(
f(x, R_l, R_h, A, H_k) =
\frac{2(1+e^A)}{ H_k \sqrt\pi}
\left(
e^A \frac{\Gamma(R_l-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_l}-1}\cdot\Gamma(R_l)} + \frac{\Gamma(R_h-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_h}-1}\cdot\Gamma(R_h)}
\right)^{-1}
\left(
1+(2^{1/R_l}-1)\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2
\right)^{-R_l}
\)
f(x, R_l, R_h, A, H_k) =
\frac{2(1+e^A)}{ H_k \sqrt\pi}
\left(
e^A \frac{\Gamma(R_l-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_l}-1}\cdot\Gamma(R_l)} + \frac{\Gamma(R_h-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_h}-1}\cdot\Gamma(R_h)}
\right)^{-1}
\left(
1+(2^{1/R_l}-1)\left(\frac{e^A+1}{e^A}\cdot\frac{x}{H_k}\right)^2
\right)^{-R_l}
\)
ただし、上は\(X<0\) のとき。\(\Gamma()\) はガンマ関数。\(X>0\) のときは、 \(R_h\Leftrightarrow R_l, A\Leftrightarrow -A\) と置き換えます。