回転行列 – Seto's Page

回転行列の表式

単位ベクトル $V=(x,y,z)$ の周りに角度 $\theta$ 回転させる行列 $R=R(x,y,z,\theta)$ は

$R= \left(\begin{array}{ccc} x^2(1-\cos\theta) + \cos\theta & x y(1-\cos\theta) - z \sin\theta& z x (1-\cos\theta) + y \sin\theta\\ x y (1-\cos\theta) + z \sin\theta& y^2 (1-\cos\theta) + \cos\theta& y z (1-\cos\theta) - x \sin\theta\\ z x (1-\cos\theta) - y \sin\theta& y z (1-\cos\theta) + x \sin\theta& z^2 (1-\cos\theta) + \cos\theta \end{array}\right)$

となります。対格成分の和は $\large{S = 1 + 2\cos\theta}$ となります。
上記の性質を利用して、長さを変えない二つの回転行列 $M_1,M_2$ があったとき、その間の角度を求めることができます。

$\large{R M_1 = M_2 \Leftrightarrow R = M_2 M_1^{-1}}$

となるはずですから、 $M_2 M_1^{-1}$ の対格成分の和を $S$ としたとき、回転行列 $M_1,M_2$ の間の角度 $\theta$ は

$\large{\theta = \arccos \cfrac{S-1}{2}}$

ということになります。

半径1の球面状に一様な確率で存在する乱数ベクトルの発生

0から1までの一様な乱数 $\alpha,\beta$ を使った、球面に等確率で存在するベクトル $V$ は

$\large{ V= \left(\begin{array}{c} 2 \beta -1\\ 2 \sin (2\pi\alpha) \sqrt{\beta(1-\beta)}\\ 2 \cos (2\pi\alpha) \sqrt{\beta(1-\beta)} \end{array}\right) }$

乱数的回転行列

0から1までの一様な乱数 $\alpha,\beta,\gamma$ 使った、ランダムな回転行列 $M$ は次のように表すことができる。

$\large{ M= \left(\begin{array}{ccc} \cos(2\pi\alpha)&\sin(2\pi\alpha)&0\\ -\sin(2\pi\alpha)&\cos(2\pi\alpha)&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\beta&\sqrt{\beta(1-\beta)}\\ 0&-\sqrt{\beta(1-\beta)}&\beta \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} \cos(2\pi\gamma)&\sin(2\pi\gamma)&0\\ -\sin(2\pi\gamma)&\cos(2\pi\gamma)&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) }$