回折ピークの関数形

Toraya(1990)によれば、回折ピーク関数には、
・Symmetric Pseudo Voigt: ガウス関数とローレンツ関数の混合
・Split Pseudo Voigt: Symmetric Pseudo Voigtを非対称に拡張
・Symmetric PearsonVII: 確率密度分布関数のひとつ
・Split Pearson VII: PearsonVIIを非対称に拡張
といった関数形を利用するとよいらしいです。具体的には以下のような形になります。

$exp[(]2pi i (k0 + g_z \delta_{g,h}) z)]$

Symmetric Pseudo Voigt:

$f(x, \eta, H_k) = \cfrac{2}{H_k \pi} \left( \cfrac{\eta}{1+ \left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2} + (1-\eta) \sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2} \right)$

Split Pseudo Voigt:

$f(x, \eta_l,\eta_h, A, H_k) = \cfrac{2}{ H_k \pi + \cfrac{H_k \pi (\eta_h-\eta_l)(\sqrt{\pi\ln2} - 1) }{(1+e^A)(\eta_h+ \sqrt{\pi\ln2} (1-\eta_h))}} \left( \cfrac{\eta_l}{1+\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2} + (1-\eta_l)\sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2} \right)$

オリジナルの形から $A \rightarrow e^{A}$ と変更しています。また、上式は $X<0$ のとき。 $X>0$ 　のときは、 $\eta_h\Leftrightarrow\eta_l, A\Leftrightarrow -A$ と置き換えます。

Symmetric Pearson VII:

$f(x, R, H_k) = \cfrac{2\sqrt{2^{1/R}-1}\cdot \Gamma(R)}{H_k\sqrt\pi \cdot \Gamma(R-1/2)} \left( 1 + (2^{1/R}-1) \left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2 \right)^{-R}$

Split Pearson VII:

$f(x, R_l, R_h, A, H_k) = \cfrac{2(1+e^A)}{ H_k \sqrt\pi} \left( e^A \cfrac{\Gamma(R_l-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_l}-1}\cdot\Gamma(R_l)} + \cfrac{\Gamma(R_h-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_h}-1}\cdot\Gamma(R_h)} \right)^{-1} \left( 1+(2^{1/R_l}-1)\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2 \right)^{-R_l}$

ただし、上は $X<0$ のとき。 $\Gamma()$ はガンマ関数。 $X>0$ 　のときは、 $R_h\Leftrightarrow R_l, A\Leftrightarrow -A$ と置き換えます。