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　ここまで何度も登場してきたsymmetry elementですが、個別の詳しい説明は省いていました。ここで改めてdetailsに説明します。

並進を伴わないsymmetry element

　並進を伴わないsymmetry elementには、恒等、centre of symmetry、鏡映、回転、回反があります。このうち、並進と両立する (crystalに存在する) 要素はbelowの通りです。

名称	表記	説明
恒等	(1)	360°回転と同義
centre of symmetry	(bar{1} (=i))	360°回反と同義 (i)と表現することもある
鏡映	(m (=bar{2}))	180°回反と同義
回転	(2), (3), (4), (6)	回転の次数 (360°/回転角度) で表現
回反	(bar{1} (=i)), (bar{2} (=m)), (bar{3}), (bar{4}), (bar{6}),	回転の次数 (360°/回転角度) で表現

恒等要素は回転要素の一種と見なすことができ、鏡映とcentre of symmetryは回反の一種と見なすことができますので、これらをまとめて説明します。

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回転、恒等

　Hermann-Mauguin (HM) 記法では、記号 (n) は 𝑛次の回転 (n-fold rotation) 要素を意味します。並進対称と両立する回転の次数は 1, 2, 3, 4, 6 です。belowは、各回転要素の性質を図示したものです。

図の読み方を補足します。

• 図中の緑色の図形は、紙面垂直方向の回転要素を表現しています。基本的に次数に対応する正多角形で表現するのですが、(1) は恒等要素なので図形は定義されておらず、(2) は(二角形はかけないので)どら焼きのような図形で表現します。
• symmetry elementの周りにある白丸は何らかの物体です。図をシンプルにするために白丸で表現しているだけであって、本当はもっと複雑な形状の物体であるとイメージしてください。白丸はrotation axisの周りでその対称性を満たすような配置をとっており、これをsymmetry elementに対するgeneral positionといいます。
• 白丸の近くにある“(bf +)”は、紙面からの距離(高さ)を表現し、“(bf 0+z)” ((bf z)は任意の数値) を省略した記号です。こんな記号、本当に必要？と思われるでしょうが、以降のsymmetry elementを説明する際に有難味がわかります。

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回反、centre of symmetry、鏡映

　HM 記法では、記号 (bar{n}) は 𝑛次の回反(n-fold rotoinversion)を意味します。回反とは、回転に引き続きcentre of symmetryをおこなう操作のことです。「回して反転」と覚えましょう。belowに各回反要素のgeneral positionを図示します。

symmetry elementの記号は回転の説明と同じく緑色で表現しています。below、補足説明です。

• 1回回反は要するにcentre of symmetryということであり、小さい白丸がsymmetry element記号です。
• 2回rotoinversion axisに対応するsymmetry element記号はありませんが、鏡映 (m) と等価ですので、代わりに (m) の記号 (カギ括弧のような記号) を使います。
• 白丸の中にカンマ “,” が書かれた記号 (以降点丸) は白丸と対掌の関係の物体であることを意味します。つまり、白丸を右手とすれば点丸は左手だということです。
• “(bf{–})”は、紙面からの高さが “(bf{0-z})” ((bf{z})は任意の数値) であることを意味します。
• 丸が分割された記号 は投影方向(紙面垂直方向) から見て白丸と点丸が重なった位置にあることを意味しており、それぞれに対する高さの情報が近くに書き添えられます。この場合は、白丸が高さ (bf 0+z)、点丸が高さ(bf 0-z)ということになります。

回映

　余談ですが、回反要素と似たような概念の仲間がいます。「回映 (𝑛-fold rotoreflection)」というsymmetry elementです。Schoenflies記法では、記号 (S_n) はn次の回映を意味します。回映操作とは、回転に引き続き鏡映を行う操作のことです。「回して鏡映」と覚えましょう。

　回反はSchoenflies記法では表現できず、回映はHM 記法では表現できません。where、「角度(theta)の回転の後に鏡映」を行うという操作は、「(theta+180^circ)の回転の後にcentre of symmetry」を行う操作と等価です。i.e.,、rotoinversion operationと回映操作は、回転の位相が(180^circ)異なる場合に等価となります（反転の点は反射平面内にあるものとする）。　アフィン変換(4×4行列)でrotoinversion operationや回映操作を表現すると、belowの通りとなります。

$$
bar{1}=S_2= begin{pmatrix}
-1&0&0&0\ 0&-1&0&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&1
end{pmatrix}quad
bar{2}=S_1= begin{pmatrix}
1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&1
end{pmatrix}quad
bar{4}=S_4= begin{pmatrix}
0&1&0&0\ -1&0&0&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&1
end{pmatrix}
$$

$$
bar{3}=S_6= begin{pmatrix}
1/2&sqrt{3}/2&0&0\ -sqrt{3}/2&1/2&0&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&1
end{pmatrix}quad
bar{6}=S_3= begin{pmatrix}
-1/2&-sqrt{3}/2&0&0\ sqrt{3}/2&-1/2&0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1
end{pmatrix}
$$

belowに対応表をまとめます。

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並進を伴うsymmetry element

　並進を伴うsymmetry elementには格子並進、らせん、映進があります。

名称	表記	説明
格子 並進	(P) (A, B, C) (I) (F) (R)	単純格子 底心格子 体心格子 面心格子 菱面格子
らせん	(2_1) (3_1), (3_2) (4_1), (4_2), (4_3) (6_1), (6_2), (6_3), (6_4), (6_5)	ひとつめの数字は回転の次数、ふたつめの数字は並進割合 (並進量 = 軸方向の周期 × ふたつめの数字 / ひとつめの数字)
映進	(a), (b), (c) (n) (e) (d)	軸映進面 対角映進面 二軸映進面 ダイヤモンド映進面

普通は格子並進から説明を始めるところですが、少し順番を変えて先にらせんの説明を済ませてから、格子並進と映進を説明します。

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らせん

　らせん要素は、二つの数字で表現されます。ひとつめの数字は回転の次数に対応し、ふたつめの数字(下付き)は並進量に対応します。screw axisの方向は、かならずcrystal中の並進ベクトル(lattice pointとlattice pointを結ぶベクトル)の方向と一致します。らせん要素の並進量は、screw axisに沿った並進の最小周期に対する「ふたつめ数字 / ひとつめの数字」と定義されます。たとえば、(4_3) というsymmetry elementを有するcrystalは、「90°回転し、軸に沿って軸の周期の3/4だけ進む」という操作によって不変に保たれます。発音は、Ex.えば (4_3) の場合、「よんさん(らせん)」、「four sub three (screw)」 などが普通です。

　簡単そうに見えて意外と勘違しやすいのがらせん要素です。Ex.えば、(6_1) 要素が (2_1) 要素を含むことや、(4_2) 要素が (2_1) 要素を含まないことを、説明できるでしょうか？自信がない方は、belowにらせんのsymmetry elementを図示しますので、じっくり眺めてください。Note:、このページでは、紙面垂直手前に向かって右ねじの方向でscrew axisを描きます。

　まず、次数が2と3のscrew axisです。

緑色の、風車のような記号がscrew axisのsymmetry elementです。below、図の読み方に関する補足です。

• (2_1)らせんは、回転の向きは考慮する必要はありません。(3_1)と(3_2)らせんは、よく似たsymmetry element記号ですが、風車の向きが異なることにご注意ください。
• “(bf x+)”は、紙面からの高さが “(bf x+z)” であることを意味しています。高さの単位は、軸方向の1周期に対する分率です。具体的な単位をもつ量ではないことにご注意下さい。
• らせん操作は並進を伴うので、白丸は無限に存在します。Ex.えば、(bf frac{1}{2}+)の高さにある白丸は、実は(bf frac{3}{2}+)や(bf -frac{1}{2}+)”にの高さにある白丸と重なっているのです。ただ、これらをすべて書くのは不可能ですし冗長過ぎるので、(bf +)の前の数字が0以上1未満の場合のみを表記しています。

　次は、次数が6のscrew axisです。

図の読み方 は、もう補足説明は要らないでしょう。白丸や点丸の配置をよく見ると、Ex.えば(6_3)は(3)や(2_1)の要素を含むことがわかります。

　最後に、次数が4のscrew axisです。

(4_1)と(4_3)は (2_1)の要素を含み、(4_2) は (2)の要素を含んでいることがわかりますね。

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格子並進

　crystalであれば必ず有しているsymmetry elementが、格子並進要素です。格子並進要素には、 (P), (A), (B), (C), (I), (F), (R) の7種類が存在します。

　さて単純格子並進 (P) に対して、残りの6種類は全て複合格子です。複合格子は (P) のもつ性質 ((textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) の並進) に加えてさらに一つ以上の並進が存在し、unit cell内に2つ以上のgeneral position (lattice point) を含みます。まず、底心格子並進 (A), (B), (C) のgeneral positionを示します。

ご覧のように、unit cell内に二つのgeneral positionが存在します。単純格子並進に加えて、(A) では (frac{1}{2}(textbf{b}+textbf{c})) 並進が、(B) では (frac{1}{2}(textbf{c}+textbf{a})) 並進が、(C) では (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b})) 並進が加わっています。

　最後に、 格子並進 (I), (F), (R) のgeneral positionを示します。

(I) 格子では (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b}+textbf{c})) の並進が加わり、unit cell内のgeneral positionは二つです。(F) 格子では (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b})), (frac{1}{2}(textbf{c}+textbf{a})), (frac{1}{2}(textbf{b}+textbf{c})) という三つの並進が加わり、general positionは四つです。(R) 格子は、trigonal crystal systemの六方格子設定にのみ現れるsymmetry elementです。六方格子設定は (textbf{a}) と (textbf{b}) は長さが等しく120°交わります。 (frac{2}{3}textbf{a}+frac{1}{3}textbf{b}+frac{1}{3}textbf{c}) と (frac{1}{3}textbf{a}+frac{2}{3}textbf{b}+frac{2}{3}textbf{c}) の並進が加わっています。

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映進

　映進は、鏡のように映ったあと、そこで終わらずに面に沿って進む(並進)というsymmetry operationです。「映って進む」、と覚えましょう。symmetry element記号は、(a. b, c, n, e, d) のいずれかです。これらの記号は並進の方向に対応しており、映進面の対称方向(法線方向)の情報は含まないということに注意しましょう。　

軸映進 ((a), (b), (c))

　軸映進 (axis glide) は、鏡映に引き続き (textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) のいずれかの方向にその周期の1/2だけ並進します。それらの方向に対応して (a), (b), (c) と表記します。3種類すべてを説明するのは冗長なので、ここでは (c) 映進をEx.を説明します。

　最後に、軸映進の対称方向が (textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) 軸のいずれか二つの合成方向になることケースを紹介します。このようなケースは正方格子、六方格子あるいは立方格子にみられます。

対角映進 ((n))

　対角映進 (diagonal glide) は (n) と表記します。この要素は、鏡映に引き続き、対称方向と直交する二つの並進ベクトルの合成ベクトルの1/2だけ並進するようなsymmetry elementです。非常にわかりにくい定義ですね。たとえば、(n) 映進面の対称方向が (textbf{b}) 軸で、 (textbf{a}) と (textbf{c}) 軸がそれに直交する場合、並進ベクトルは (frac{1}{2} (textbf{a}+textbf{c})) であるということです。 対称方向に直交する2本の軸が作る平行四辺形の対角線方向に並進するのでこの名前がついています。(n) という記号から対称方向はもちろんのこと並進方向を読み取ることもできませんから、どういう文脈で使われているかを読み取ることが重要です。

それでは、 (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b})) の半分 (つまり(frac{1}{4}(textbf{a}+textbf{b}))) が、鏡映後の並進だったらどうなるんだろう？と考えたあなたは鋭いです。実はそれが後述するダイヤモンド映進面なのです。

二重映進 ((e))

　二重映進 (double glide) は、(e) と表記します。この要素は (textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) 軸が互いに直交する格子系にのみ存在し、対称方向は (textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) 軸のいずれかです。これまで説明した軸映進や対角映進と大きく異なる点は、並進ベクトルが2つあることです。i.e.,対称方向と直交する2本の軸はどちらも並進方向であり、並進量はそれぞれの1/2です。その結果、軸映進や対角映進ではunit cell内に二つの等価位置が現れましたが、二重映進では四つの等価位置が現れます。たとえば、対称方向が (textbf{c}) 軸の場合、並進ベクトルは (frac{1}{2}textbf{a}) と (frac{1}{2}textbf{b}) の二つです。要するに軸映進がダブルになったということですね。

　もう少しこのsymmetry elementを考察してみましょう。白丸の位置関係に注目すると、底心格子並進の関係になっていることがわかるでしょうか？同様に点丸 も底心格子並進の対称性を満たしています。つまり、(e) 映進の作用によって必ず底心格子要素も加わってしまう²のです。たとえばあるcrystalの (textbf{c}) 軸を対称方向とする (e) 映進が存在すれば、そのcrystalは必ず (C) 底心格子であるということです。(e) 映進が二つ以上の軸方向に存在すれば (F) 面心格子になりますし、二つの軸の対角方向(Ex.えば正方や立方の([110]))に存在すれば (I) 体心格子になります。言い換えると (e) 映進を有するspace groupは必ず複合格子 ((A,B,C,I,F) のいずれか) を持ちます³。

ダイヤモンド映進 ((d))

　最後はダイヤモンド映進(diamond glide)です。(d) と表記します。二重映進の場合と同様に、(d) 映進要素を有するspace groupは複合格子 ((I,F) のいずれか) に限られます⁵。この要素は、鏡映に引き続き、 (textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) 以外の複合格子並進ベクトルの1/2だけ並進します。(textbf{a}), (textbf{b}), (textbf{c}) 以外の複合格子並進ベクトルとは、(I) の場合は (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b}+textbf{c})) であり、(F) の場合は (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b})), (frac{1}{2}(textbf{b}+textbf{c})) , (frac{1}{2}(textbf{c}+textbf{a})) のいずれかです。これらのさらに半分が (d) 映進の並進ベクトルということです。もう一つ、(d) 映進面には特異な性質があります。それは必ず複数枚のセットで存在する必要があるということです。なかなか文章だけでは分かりにくいので、belowに図を用いて説明します。

　大変回りくどい説明になりましたが、以上のように (d) 映進は同じsymmetry element方向に必ず複数枚存在します。それらはsymmetry element方向の周期の1/4ずつ離れており、並進ベクトルが交互 (Ex.えば(frac{1}{4}(textbf{a}+textbf{b})) と (frac{1}{4}(textbf{a}-textbf{b}))) に変化します。Note:、(d) 映進が (I) 体心格子の正方・cubic crystal systemの ([110]) (および([1bar{1}0])) 方向に垂直に存在する場合もあるのですが、考え方は全く同じなので省略します。

映進面の種類と対称方向

　全ての映進があらゆる対称方向に存在できるわけではありません。Ex.えば (a) 映進面は、(textbf{a}) 軸の方向に並進するわけですから、映進面の対称方向(法線方向)と (textbf{a}) は直交している必要があります。(textbf{a}) 軸を対称方向とする (a) 映進面は存在しません。belowに、どのcrystal類(point group)のどの対称方向(主軸、副軸)に、どの映進面が現れる可能性があるかをまとめました。Note:映進面が全く現れないcrystal類は省略しています。

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symmetry element間の関係

　いくつかのsymmetry elementの間には、「含む/含まれる」という関係性が存在します。Ex.えば (4) というsymmetry elementを有する物体は、90°, 180°, 270°, 360°のrotation operationを許すということなので、当然 (2) というsymmetry elementも有しています。つまり (4) は (2) を含んでいるわけですが、通常は上位のsymmetry elementのみを記載すれば十分です。belowに、このような関係を図で表現しました。

線で結ばれているふたつのsymmetry elementは、上位の要素が下位の要素を含むという関係性があります。最下位には当然 (1) が存在しており、本来であればすべてのsymmetry elementを下向きの線で結ぶべきなのですが、図が複雑になるために省略しています。

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Footnotes

1. 紙面平行な軸映進の場合は短破線と長破線を使いわけることで並進方向を区別しますが、(n) 映進の場合は点破線の一種類だけで十分です。 ↩︎
2. 当然ながら、底心格子要素があるからといって必ず (e) 映進が存在するわけではありません。 ↩︎
3. (e) 映進要素は、(A), (B), (C) あるいは (F) 格子の直方晶系に属するspace groupの一部、(I) 格子のtetragonal crystal systemに属するspace groupの一部、(I) あるいは (F) 格子のcubic crystal systemに属するspace groupの一部に現れます。 ↩︎
4. space group記号中のsymmetry elementが「generator」の意味合いを持つことを考慮すれば、別に (Aem2) (現在の公式表記) を (Abm2) (過去の公式表記) あるいは (Acm2) (非公式の表記) と表現しても大きな問題は生じません。どの表記を解釈しても、同じspace groupの構造を生成することができます。ただ (Acm2) ではなく (Abm2) を優先する納得のいく理屈はありませんし、systematic absencesを読み間違える可能性も高くなるので、一層のこと (Aem2) という新表記を採用したということです。 ↩︎
5. (d) 映進要素は、(F) 格子の直方晶系に属するspace groupの一部、(I) 格子のtetragonal crystal systemに属するspace group一部、(I) あるいは (F) 格子のcubic crystal systemに属するspace groupの一部に現れます。  ↩︎
6. 同じでいいの？混乱しない？と思われるかもしれませんが、そもそも映進記号中の矢印は、「映進の並進ベクトルが矢印方向の最小並進ベクトルの半分」であるという意味なのです。この図の場合、最小並進ベクトルは (frac{1}{2}(textbf{a}+textbf{b})) ですから、映進の並進ベクトルは (frac{1}{4}(textbf{a}+textbf{b})) となります。 ↩︎