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multiplication table

　ある群から任意の元を二つ選び、それらの演算結果 (積)を並べた表を、multiplication table (Cayley¹ table)といいます (乗法表あるいは積表ということもあります )。Ex.えば 元としてidentity operation ((1)) とcentre of symmetry ((bar{1})) を含むpoint group (bar{1}) のmultiplication tableは、belowのようになります。Note:本ページでは、行の元を左から、列の元を右から掛けるという約束で話を進めます。

	(1)	(bar{1})
(1)	(1)	(bar{1})
(bar{1})	(bar{1})	(1)

point group (m) (主軸は (b)) のmultiplication tableは、belowのようになります。Note:、symmetry operationの記号にはザイツ記号 (こちらをsee) を用いています。

	(1)	(m_{010})
(1)	(1)	(m_{010})
(m_{010})	(m_{010})	(1)

point group (bar{4}) (主軸は (c)) のmultiplication tableは、belowのようになります。

	(1)	(2_{001})	(bar{4}^+_{001})	(bar{4}^-_{001})
(1)	(1)	(2_{001})	(bar{4}^+_{001})	(bar{4}^-_{001})
(2_{001})	(2_{001})	(1)	(bar{4}^-_{001})	(bar{4}^+_{001})
(bar{4}^+_{001})	(bar{4}^+_{001})	(bar{4}^-_{001})	(2_{001})	(1)
(bar{4}^-_{001})	(bar{4}^-_{001})	(bar{4}^+_{001})	(1)	(2_{001})

point group (222) のmultiplication tableは、belowのようになります。

	(1)	(2_{100})	(2_{010})	(2_{001})
(1)	(1)	(2_{100})	(2_{010})	(2_{001})
(2_{100})	(2_{100})	(1)	(2_{001})	(2_{010})
(2_{010})	(2_{010})	(2_{001})	(1)	(2_{100})
(2_{001})	(2_{001})	(2_{010})	(2_{100})	(1)

multiplication tableでは、任意の列あるいは行をひとつ選んだとき、全て元が一回ずつ現れるという性質があります。

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群のisomorphism

　2つの群 (G, H) の間にisomorphism写像が存在するとき、(G, H) の関係をisomorphism (isomorphism)であるといいます。isomorphism写像とは、(G)の元を(H)の元に写すような関数 (f) が、(f(ab)=f(a)f(b)) (where (a,b) は(G) の任意の元)という性質を満たし、Note:かつ全単射である²ような写像のことです。2つの群がisomorphismであるということは、群としての構造が全く同じであることを意味します。言い換えると、isomorphismな群のmultiplication tableは、適切に記号を置き換えると一致するということです。

point group (有限群)の場合

たとえばpoint group (bar{1}) と (m) のmultiplication tableを比べてみると、(bar{1} leftrightarrow m_{010}) という置換で等しくなることが分かります。i.e.,、point group (bar{1}) と (m) はisomorphismです。位数(元の数)が2の群のmultiplication tableは、単位元を(E), それ以外の元を(A)として、belowのパターンしか有り得ません。位数が2のpoint groupは (bar{1},m, 2)があり、これらは全てisomorphismということになります。

	(E)	(A)
(E)	(E)	(A)
(A)	(A)	(E)

一方、point group (bar{4}) のmultiplication tableの記号をどのように置換したとしても、point group (222) のmultiplication tableと一致させることは出来ません。Therefore,point group (bar{4}) と (222) はisomorphismではありません。位数が4の群のmultiplication tableは、単位元を(E), それ以外の元を(A, B, C)として、belowの2つのパターンがあります。

前者はpoint group (4, bar{4}) が該当し、後者はpoint group (2/m, 222, mm2) が該当します。位数が有限である群 (有限群) に関するisomorphismの分類 はこちら (信州大学・花木先生の資料)に詳しくまとめられています。

space group (無限群) の場合

　さて、point group (bar{1}) と (m) はisomorphismであることが分かりました。それでは、space group (Pbar{1}) と (Pm) はisomorphismでしょうか？「格子並進が加わっただけだからisomorphismのままなんじゃない？」 と思われる方がいるかもしれませんが、実は違います。multiplication tableを書き下して検討してみましょう (space groupは位数が無限なので一部だけ書くことにします)。

(Pbar{1})のmultiplication table

	({1|0,0,0})	({bar{1}|0,0,0})	({1|1,0,0})	({bar{1}|1,0,0})	({1|0,1,0})	({bar{1}|0,1,0})	(cdots)
({1|0,0,0})	({1|0,0,0})	({bar{1}|0,0,0})	({1|1,0,0})	({bar{1}|1,0,0})	({1|0,1,0})	({bar{1}|0,1,0})	(cdots)
({bar{1}|0,0,0})	({bar{1}|0,0,0})	({1|0,0,0})	({bar{1}|1,0,0})	({1|1,0,0})	({bar{1}|0,1,0})	({1|0,1,0})	(cdots)
({1|1,0,0})	({1|1,0,0})	({bar{1}|bar{1},0,0})	({1|2,0,0})	({bar{1}|0,0,0})	({1|1,1,0})	({bar{1}|bar{1},1,0})	(cdots)
({bar{1}|1,0,0})	({bar{1}|1,0,0})	({1|bar{1},0,0})	({bar{1}|2,0,0})	({1|0,0,0})	({bar{1}|1,1,0})	({1|bar{1},1,0})	(cdots)
({1|0,1,0})	({1|0,1,0})	({bar{1}|0,bar{1},0})	({1|1,1,0})	({bar{1}|1,bar{1},0})	({1|0,2,0})	({bar{1}|0,0,0})	(cdots)
({bar{1}|0,1,0})	({bar{1}|0,1,0})	({1|0,bar{1},0})	({bar{1}|1,1,0})	({1|1,bar{1},0})	({bar{1}|0,2,0})	({1|0,0,0})	(cdots)
(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(ddots)

(Pm) (主軸(b))のmultiplication table

	({1|0,0,0})	({m_{010}|0,0,0})	({1|1,0,0})	({m_{010}|1,0,0})	({1|0,1,0})	({m_{010}|0,1,0})	(cdots)
({1|0,0,0})	({1|0,0,0})	({m_{010}|0,0,0})	({1|1,0,0})	({m_{010}|1,0,0})	({1|0,1,0})	({m_{010}|0,1,0})	(cdots)
({m_{010}|0,0,0})	({m_{010}|0,0,0})	({1|0,0,0})	({m_{010}|1,0,0})	({1|1,0,0})	({m_{010}|0,1,0})	({1|0,1,0})	(cdots)
({1|1,0,0})	({1|1,0,0})	({m_{010}|1,0,0})	({1|2,0,0})	({m_{010}|2,0,0})	({1|1,1,0})	({m_{010}|1,1,0})	(cdots)
({m_{010}|1,0,0})	({m_{010}|1,0,0})	({1|1,0,0})	({m_{010}|2,0,0})	({1|2,0,0})	({m_{010}|1,1,0})	({1|1,1,0})	(cdots)
({1|0,1,0})	({1|0,1,0})	({m_{010}|0,bar{1},0})	({1|1,1,0})	({m_{010}|1,bar{1},0})	({1|0,2,0})	({m_{010}|0,0,0})	(cdots)
({m_{010}|0,1,0})	({m_{010}|0,1,0})	({1|0,bar{1},0})	({m_{010}|1,1,0})	({1|1,bar{1},0})	({m_{010}|0,2,0})	({1|0,0,0})	(cdots)
(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(vdots)	(ddots)

白抜きの部分は線形部分が(1)の操作(つまり単純な平行移動操作)を表しており、当然ながら完全に一致します。注目すべきは背景が青色の部分です。この部分に注目してじっくり比較してみましょう。すると、記号の置き換えによって両者を等しくすることは出来ないことに気付くはずです。なぜなら、Ex.えばspace group (Pbar{1})の場合 ({bar{1}|u,v,w}) を二乗すると必ず ({1|0,0,0})になりますが、 space group (Pm) の場合 ({m_{010}|u,v,w})を二乗しても ({1|0,0,0})になるとは限らない³からです。Therefore,、point group (bar{1}) と (m) はisomorphismですが、space group (Pbar{1}) と (Pm) はisomorphismではありません。isomorphismなpoint groupだったとしても、並進操作を加えるとisomorphismではなくなってしまうというのは、群の一般的な性質です。

isomorphismのspace group

　基本的に表記の異なるspace groupは、非isomorphismな(isomorphismではない)関係にあるのですが、Ex.外があります。230種類の3次元space groupのうち、次に示す11のペアは互いにisomorphismです。

• tetragonal crystal system: (P4_1)と(P4_3)、(P4_122)と(P4_322)、(P4_12_12)と(P4_32_12)
• trigonal crystal system: (P3_1)と(P3_2)、(P3_121)と(P3_221)、(P3_112)と(P3_212)
• hexagonal crystal system: (P6_1)と(P6_5)、(P6_2)と(P6_4)、(P6_122)と(P6_522)、(P6_222)と(P6_422)
• cubic crystal system: (P4_132)と(P4_332)

各ペアは enantiomorphic (鏡像異形) の関係を持っています。これら11ペアのisomorphism重複を除いた219種類のspace groupをaffine space-group typesといいます。一方isomorphism重複を許した230種類をproper affine space-group typesといいます。

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Footnotes

1. 数学者 Arthur Cayleyの名前にちなんでいます。 ↩︎
2. 全単射でない場合は準isomorphism (homomorphism)といいます。 ↩︎
3. Ex.えば、({m_{010}|1,0,0} {m_{010}|1,0,0} = {1|2,0,0}) ↩︎