space groupは230種類あります。これらは互いに無関係なわけではなく、共通の性質に注目して分類する(まとめる)ことができます。crystal系やBravais latticeなどの概念もspace groupの分類方法ですが、これまでの説明はやや不正確あるいは不十分なところがありました。ここでは、改めてよく使われるspace groupの分類法のいくつかを詳しく解説します。大きな分類 (項目数が多い)から小さな分類(項目数が少ない)の順に話を進めていきます。
space groupとspace groupタイプ
これまでこのHPではなんども「space groupは230種類ある」のように書いてきましたが、実はこれは不正確な表現です。正しくは「space groupタイプは230種類ある」です。space groupは必ず並進操作を含み、その並進量や並進方向はcrystalによって異なります。Ex.えばNaClとMgOはどちらも(Fmbar{3}m)というspace groupの対称性を持ちますが、lattice parametersは異なる (前者は a=5.64Å、後者は a=4.21Å) ので表記が同じだったとしても異なるsymmetry operationを持ったspace groupに属すると考えなければいけません。つまりspace groupは無限に存在するのです。
一方、lattice parametersの違いを無視してspace groupを代数的な構造で整理すると、230種類のspace groupタイプ (space group types) が得られます。ところでおそらく多くの方にとって、「lattice parametersの違いを無視」してspace groupを議論することはほぼ自明の前提であるとお考えでしょう。そのためこのHPでは、正確さはわずかに犠牲にしますが誤解が生じない範囲で、space groupタイプのことを単にspace groupと呼ぶ1ことにします。
アフィンspace group
「2.4. 群のmultiplication table・isomorphism」ページで述べたように、230種類の3次元space groupのうち、belowの11のペアは互いにisomorphismです。
- tetragonal crystal system: (P4_1)と(P4_3)、(P4_122)と(P4_322)、(P4_12_12)と(P4_32_12)
- trigonal crystal system: (P3_1)と(P3_2)、(P3_121)と(P3_221)、(P3_112)と(P3_212)
- hexagonal crystal system: (P6_1)と(P6_5)、(P6_2)と(P6_4)、(P6_122)と(P6_522)、(P6_222)と(P6_422)
- cubic crystal system: (P4_132)と(P4_332)
各ペアは 鏡像異形 (enantiomorphic) の関係を持っています。これら11ペアのisomorphism重複を同一とみなした 219 種類のspace groupをアフィンspace group (affine space-group types) といいます。一方、isomorphism重複を独立と数えた230種類を真アフィンspace group(proper affine space-group types) あるいはcrystalspace group (crystallographic space-group types)といいます。通常、space groupといえば後者の方を指します。
crystal類とcrystal族point group
「2.4. Subgroups and Cosets」ページで述べたように、すべてのspace group 並進群を法としたfactor groupを導いたとき、それらは32種類のcrystal族point group (並進操作と両立する回転・回反を組み合わせたpoint group)のいずれかに対応します。このようにspace groupをpoint groupに対応させる分類をcrystal類2 (crystal class) あるいは幾何学的 (geometric) crystal類 といいます。crystal類とcrystal族point groupは一対一で対応し表記も全く一緒ですが、概念は微妙に異なることにご注意ください。前者はspace groupに対応するpoint groupを指しており、後者はpoint groupそのものです。
一般にcrystal類はcrystalのマクロな性質に深く関連します。なぜなら、crystal類は巨視的なcrystalの外形を形態学的対称性に従って群に分類したものに対応するからです。Ex.えばcrystalの外形や各種物性 (弾性率、熱伝導率、透磁率など) はcrystal類で表現されるpoint groupの対称性に従います。
あるspace groupがどのcrystal類に属しているかは、実は次のような簡単な記号の置き換えや削除によって知ることができます。i.e.,space group表記 (HM表記) から
- 最初の一文字 (格子の記号) を削除
- すべての下付き数字 (screw axisの並進情報) を削除
- すべての小文字アルファベット (映進操作) を (m) に変換
すればよいのです。Ex.えばspace group (Fdbar{3}m) のcrystal類は (mbar{3}m)であり、space group (P6_422) のcrystal類は (622) となります。
代数的crystal類と共型space group
単にcrystal類といったら、上述の幾何学的crystal類を指します。実はもう一つ似た言葉として、代数的crystal類 (arithmetic crystal class) があります。代数的crystal類とは、(幾何学的)crystal類にBravais latticeを組み合わせた概念です。crystal類が32種類であったのに対し代数的crystal類は73種類あります。代数的crystal類は共型space group (symmorphic space groups) と一対一の対応関係があります。共型space groupとは、らせんと映進のsymmetry operationを含まず、point group操作と格子並進操作のみを組み合わせてできるspace groupのことです。Ex.えばspace group (Fmbar{3}m) は共型space groupのひとつですが、 (I4_1acd) は共型space groupではありません。
Bravais latticeとブラベー代数的類
既に別ページでも説明していますが、Bravais lattice (Bravais lattice, Bravais type of lattice3) とは、単純格子の頂点にのみ原子が存在するようなcrystalを仮定し格子の形状をいろいろ変化させると、何種類のspace groupで表現できるか？という発想に基づく分類です。belowに14種類のBravais latticeを再掲し、さらにそれらに対応するspace group(格子を並べた全体の対称性)とpoint group (一つのlattice pointを不動にする対称性) を記載します。
| 記号 | 模式図 | space group | point group |
|---|---|---|---|
| (aP) |  |
(Pbar{1}) | (bar{1}) |
| (mP) |  |
(P2/m) | (2/m) |
| (mC) |  |
(C2/m) |
| 記号 | 模式図 | space group | point group |
|---|---|---|---|
| (oP) |  |
(Pmmm) | (mmm) |
| (oC) |  |
(Cmmm) | |
| (oI) |  |
(Immm) | |
| (oF) |  |
(Fmmm) | |
| (tP) |  |
(P4/mmm) | (4/mmm) |
| (tI) |  |
(I4/mmm) |
| 記号 | 模式図 | space group | point group |
|---|---|---|---|
| (hR) |  |
(Rbar{3}m) | (bar{3}m) |
| (hP) |  |
(P6/mmm) | (6/mmm) |
| (cP) |  |
(Pmbar{3}m) | (mbar{3}m) |
| (cI) |  |
(Imbar{3}m) | |
| (cF) |  |
(Fmbar{3}m) |
単純格子を仮定したのに、なぜ複合格子が生まれるのか？という疑問を持たれたかもしれません。「1.3. Lattice Parameters, Crystal Systems, and Bravais Lattices」ページでも説明しているとおり、複合格子は単純格子に分解できますので、逆に絶妙な形の単純格子を仮定すれば複合格子を生み出すことができるのです。
実際のcrystalはunit cellの頂点以外の場所にも原子が存在していますが、space groupの並進symmetry elementにだけ注目すれば、すべてのcrystalはaboveの14種類のいずれかに必ず分類できます。このような分類をブラベー代数的類 (Bravais arithmetic class) あるいは単にブラベー類といいます。Bravais lattice(タイプ)とブラベー代数的類は一対一で対応します。where両者の混同を避けるため、ブラベー代数的類はspace group表記中の格子記号を最後にして、さらに底心格子記号を(S)と変換して、Ex.えば (mmmI) (space group(Immm)に対応)とか (2/mS)(space group(C2/m)に対応) と書く決まりになっています。
格子系・crystal系・crystal族
これらはかなり混乱しやすい用語です。そんなに困っている人はいないかもしれませんが、念のため説明しておきます。
格子系
全てのcrystalは14種類のブラベー代数的類 (≒Bravais lattice) に分類できます。そして、対応するpoint groupに注目してブラベー代数的類をさらに分類したものが格子系 (lattice system) です。Bravais lattice中のひとつのlattice pointに注目して、それを不動にするsymmetry operationがつくるpoint group4は、次のように7 種類にまとめることができます。この基準でブラベー代数的類を分類したものを格子系といいます。
| 格子系 (lattice system) | point group | 対応するBravais lattice |
|---|---|---|
| 三斜格子系 (triclinic) | (bar{1}) | (aP) |
| 単斜格子系 (monoclinic) | (2/m) | (mP), (mC) |
| 直方格子系 (orthorhombic) | (mmm) | (oP), (oC), (oI), (oF) |
| 正方格子系 (tetragonal) | (4/mmm) | (tP), (tI) |
| 菱面格子系 (rhombohedral) | (bar{3}m) | (hR) |
| 六方格子系 (hexagonal) | (6/mmm) | (hP) |
| 立方格子系 (cubic) | (mbar{3}m) | (cP), (cI), (cF) |
六方格子系を除く格子系はunit cellの形状の対称性がそのままpoint groupに対応しています5。だからといって格子系はunit cell形状の対称性によって分類されていると考えるのは間違いです。この考え方だと六方格子系 (point group (6/mmm)) のunit cellの対称性6を説明できません。「格子」とは、ひとつのunit cell (平行六面体の箱)ではなく、lattice pointの相対的位置関係を表現する格子模様だということを思い出しましょう。格子系とは、あくまで格子模様の対称性(point group)による分類であることにご注意ください。
crystal系
全てのcrystalは、32種類の(幾何学的)crystal類 (≒crystal族point group) に分類できます。そしてbelowのようにcrystal類をさらに分類したものがcrystal系 (crystal system) です。
| crystal系 (crystal system) | 所属するcrystal類 (point group) | ユニークなsymmetry element |
|---|---|---|
| triclinic crystal system (triclinic) | (1), (bar{1}) | (1) あるいは (bar{1}) |
| monoclinic crystal system (monoclinic) | (2), (m), (2/m) | (2)あるいは(m) |
| 直方晶系 (orthorhombic) | (222), (mm2), (mmm) | 3方向に(2)あるいは(m) |
| tetragonal crystal system (tetragonal) | (4), (bar{4}), (4/m), (422), (bar{4}2m), (4/mmm) | (4) あるいは (bar{4}) |
| trigonal crystal system (trigonal) | (3), (bar{3}), (32), (3m), (bar{3}m) | (3) あるいは (bar{3}) |
| hexagonal crystal system (hexagonal) | (6), (bar{6}), (6/m), (622), (6mm), (bar{6}m2), (6/mmm) | (6) あるいは (bar{6}) |
| cubic crystal system (cubic) | (23), (mbar{3}), (432), (bar{4}3m), (mbar{3}m) | 四方向に(3) |
crystal系は格子系に比べて広く普及している分類法ですが、実はこの分類に深い数学的背景があるわけではありません。crystal系のひとつめの分類方針は、32のcrystal類(に対応するpoint group)が有する様々なsymmetry elementから共通性を見出して分類する、という方針です。Ex.えば、3方向に(2)あるいは(m)というsymmetry elementを持つ三つのpoint group (222), (mm2), (mmm) は一つにまとめる、みたいな感じです。なぜ「3方向」に限定するのか？1方向だけでもいいことにして、(2), (m), (2/m)も仲間に入れてあげたら？と思う人がいるかもしれません。これはもっともな疑問です。そこでもう一つ、なるべく格子系の分類に近づける7、という方針を加えてみましょう。i.e.,、同じ格子系に属するspace groupたちが、なるべく同じcrystal系に属するようなsymmetry elementの共通性を考えるということです。ふたつ目の方針を考慮すると、上の表のように7つのcrystal系が導かれるのです。
この分類は一見きれいにみえますが、重要な注意点があります。trigonal crystal systemはふたつ目の方針を満たしていないのです。trigonal crystal systemに属するspace groupは、六方格子系になることも菱面格子系になることもありますが、crystal類は同じです (Ex.えばspace group(P3)と(R3)は、格子系ではそれぞれ六方と菱面だが、crystal類では共に(3)となり区別は不可能)。この意味で、trigonal crystal systemとは六方格子系にも菱面格子系にもなりうるcrystal類をまとめたものであり、hexagonal crystal systemとは必ず六方格子系になるcrystal類をまとめたものである、と考えるとスッキリするかもしれません8。このあたりの事情は「三方/hexagonal crystal systemの話題」ページでも詳しく解説しています。trigonal crystal systemとhexagonal crystal systemを除く残り5つのcrystal系 (三斜、単斜、直方、正方、立方) は、同一名称の格子系と完全な対応関係があります(Ex.えばcubic crystal systemに属するspace groupは必ず立方格子に属します)。
crystal族
格子系とcrystal系の概念が理解できたら、crystal族 (Crystal family) の概念の理解は容易です。要するに、格子系とcrystal系の公約数であり、格子系とcrystal系とで食い違いのあった部分を「六方晶族」としてまとめた分類です。belowに、crystal族、格子系、crystal系の関係をまとめます。
| crystal族 | 格子系 | crystal系 | Bravais latticeの数 | point groupの数 | space groupの数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 三斜 | 1 | 2 | 2 | ||
| 単斜 | 2 | 3 | 13 | ||
| 直方 | 4 | 3 | 59 | ||
| 正方 | 2 | 7 | 68 | ||
| 六方 | 菱面 | 三方 | 1 | 5 | 7 |
| 六方 | 1 | 18 | |||
| 六方 | 7 | 27 | |||
| 立方 | 3 | 5 | 36 | ||
とくに注意が必要なのは六方晶族ですね。この晶族には、「菱面格子系のtrigonal crystal system」、「六方格子系のtrigonal crystal system」、「六方格子系のhexagonal crystal system」という三種類のspace groupが所属しています。ややこしいですね。「三方晶族」とか「菱面晶系」とか「三方格子(系)」という分類は存在しないので、うっかり口走らないように注意しましょう。ほかのcrystal族は、同じ名称の格子系およびcrystal系と完全対応するので、悩む必要はありません。
まとめ
最後に、このページで紹介したspace groupの分類の階層構造をまとめます。このFigure:ITA (6th ed)のFig. 1.3.4.1を改変したものです。
最上位には230種のspace groupが位置します。正確に言うとspace groupタイプです。space groupからisomorphism重複をまとめると、219種のアフィンspace groupに分類されます。アフィンspace groupのらせん操作と映進操作をそれぞれrotation operationとreflection operationに変換すると、73種の代数的crystal類 (≒共型space group) が得られます。
代数的crystal類は、並進操作に注目すれば14種のブラベー代数的類 (≒Bravais lattice)に分類され、さらにlattice pointの対称性から7種の格子系に分類されます。あるいは代数的crystal類は、point group要素に注目すれば32種の幾何学的crystal類 (≒crystal族point group) に分類され、さらに共通のsymmetry elementを括りだすことで7種のcrystal系に分類されます。
格子系とcrystal系の最大公約数を取った分類が6種のcrystal族です。
Footnotes
- 実際、ほとんどの日本語の教科書では、「space group」と「space groupタイプ」を区別せず用いているように思います。厳密にいえば、crystalの温度が1℃でも異なれば、熱膨張によって体積(つまりlattice parameters)が変化するので、space groupタイプは同じでもspace groupは変化します。でも、いくら何でもこんな厳密な言葉遣いは面倒ですよね。 ↩︎
- crystal class を「晶族」 と訳す場合もあります。ただこのように訳すと、今度は crystal familyをどう訳せばいいかという問題が生じます。このHPでは crystal class はcrystal類で統一します。https://dictionary.iucr.org/Crystal_class ↩︎
- IUCRの勧告によれば、Bravais latticeは個別の格子そのものではなく格子の種類を表す概念なので、Bravais type of lattice と表現することが勧められています。日本語でもBravais latticeタイプと表現した方がいいのかもしれませんが、aboveのspace group「タイプ」と同様の理由でこのHPでは単にBravais latticeと表現します。https://dictionary.iucr.org/Bravais_lattice ↩︎
- space groupのfactor groupと考えてもかまいませんし、極大subgroupと考えても構いません。 ↩︎
- 菱面格子の単位格子形状 は、下図の左のような底面が菱形(すべての辺の長さが等しく内角が60°と120°)の直角柱ではなく、下図の右のような三辺の長さが等しくそれらが等しい角度 ((alpha)) で交差する菱面体を考えてください。
↩︎ - あえて六方格子のunit cell、i.e.,底面が菱形(すべての辺の長さが等しく内角が60°と120°)の直角柱の対称性を表現すれば、そのpoint groupは (mmm)です。 ↩︎
- point groupは並進要素を含まないのに、並進要素を前提とした格子系と同じような分類をしようという発想に、そもそも若干の無理があるのです。このため六方晶族のいびつさが生まれています。分子などの有限の大きさの物体形状を記述する際にcrystal系はある程度の意味を持ちますが、並進要素を必ず含むcrystalを取り扱う際にはむしろ格子系の概念の方が重要です。個人的な意見ですが、crystalを研究する人はcrystal系よりも格子系に集中して学習した方が幸せになれるかもしれません。 ↩︎
- trigonal crystal systemとhexagonal crystal systemの違いは、回転あるいは回反の次数が「3」か「6」かの違いじゃないの?と考える方がいるかもしれませんが、そこまで単純な話ではないのです。hexagonal crystal systemのpoint group (bar{6})は、(3/m)という表現と等価ですから次数だけでは判断できません。さらに、回反ではなく回映というsymmetry elementで考える ((bar{3} = S_6), (bar{6} = S_3)) と、見かけ上の次数が変わるのです。 ↩︎